增廣理想

代數中，增廣理想是可以在任何群環中定義的一種理想。若G是群，R是交換環，則有一個自群環R[G]至R的環同態$\epsilon$，稱為增廣映射，將R[G]的元素

$\sum r_i{g}_i$

映射至

$\sum r_i$

其中r_i是R的元素，g_i是G的元素。按照群環的定義，以上的和是有限和。較籠統而言，對G任何元素g，定義

$\epsilon (g)$

為1_R，再將$\epsilon$以最顯然的方法延伸成R-模的同態。增廣理想是$\epsilon$的核，因此是R[G]的雙邊理想，由群元素的差

$g-g^{\prime }$

生成。

此外，增廣理想是自由R-模，可用

$g-1,g\in G$

為其基底而生成。

對上述的R和G，群環R[G]是增廣R-代數的一例。這樣的代數都帶有一個映至R上的環同態。這個環同態的核是這個代數的增廣理想。

增廣理想的另一類例子是任何霍普夫代數的餘單位元$\epsilon$的核。

增廣理想是群上同調等應用中的基本工具。

參考

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