塞瓦定理

三条线段的交点O 位于三角形ABC的内部

三条线段的交点O 位于三角形ABC的外部

塞瓦線，或稱為賽瓦線段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理（Template:Lang-en）指出：如果$\mathrm{△}ABC$的塞瓦線段$\overline{AD}$ 、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$ 通过同一点$O$，则

$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=1$

它的逆定理同样成立：若$D$、$E$、$F$分别在$\mathrm{△}ABC$的边$\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足

$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=1$，

则直线$\overline{AD}$、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$共点或彼此平行（於無限遠處共點）。当$\overline{AD}$、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当$\overline{AD}$、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$中的任意两直线平行时，则三直线平行。

它最先由意大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明，因而得名。此定理又譯西瓦定理或帥氏定理。

证明

設 h = A 到 $\overline{BC}$ 的距離

$\mathrm{△}ABD$ 的面積 = $(1/2)\cdot h\cdot \overline{BD}$

$\mathrm{△}ADC$ 的面積 = $(1/2)\cdot h\cdot \overline{DC}$

$\therefore \mathrm{△}ABD$ 的面積 / $\mathrm{△}ADC$ 的面積 = $\overline{BD}/\overline{DC}$

$\because \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ABD}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ADC}}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}OBD}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ODC}}.$

由等比性质,

$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ABD}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}OBD}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ADC}-{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ODC}}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ABO}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}CAO}}.$

同理 $\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}BCO}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ABO}},\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}CAO}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}BCO}}.$

$\therefore \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}\cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}\cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ABO}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}CAO}}\cdot \frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}BCO}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}ABO}}\cdot \frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}CAO}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{△}BCO}}=1.$

证毕。

推论：角平分線定理

在三角形$ABC$中，$\mathrm{\angle }A$的角平分線交$\overline{BC}$於$D$，$\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$。

參見

• 梅涅劳斯定理
• 莫雷角三分線定理