埃倫費斯特定理

Template:NoteTATemplate:量子力学

保罗·埃伦费斯特。

在量子力學裏，埃倫費斯特定理（Template:Lang）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$；

其中，$A$ 是某個量子算符，$⟨A⟩$ 是它的期望值，$H$ 是哈密頓算符，$t$ 是時間，$\hslash$ 是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 $i\hslash$ ，再取 $i\hslash$ 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

薛丁格繪景下的推導

假設，一個物理系統的量子態為 $\mathrm{\Phi }(x,t)$ ，則算符 $A$ 的期望值對於時間的導數為

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}⟨A⟩& =\frac{d}{dt}\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\mathrm{\Phi }dx\\ & =\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }dx+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)\mathrm{\Phi }dx+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)dx\\ & =\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }dx+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)dx\\ \end{array}$

薛丁格方程表明哈密頓算符 $H$ 與時間 $t$ 的關係為

$H\mathrm{\Phi }=i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}$ 。

其共軛為

$(H\mathrm{\Phi }{)}^{*}=-i\hslash \frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}$ 。

因為哈密頓算符是厄米算符，$H^{*}=H$ ，所以，

$(H\mathrm{\Phi }{)}^{*}={\mathrm{\Phi }}^{*}{H}^{*}={\mathrm{\Phi }}^{*}H$ 。

將這三個方程式代入 $\frac{d}{dt}⟨A⟩$ 的方程式，則可得到

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(AH-HA)\mathrm{\Phi }dx+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$ 。

所以，埃倫費斯特定理成立：

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$ 。

有時算符 $A$ 不隨時間變化，則 $⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$ 等於零。

海森堡繪景下的推導

海森堡繪景下的推導更為直接。有海森堡運動方程式

$\frac{\partial }{\partial t}A=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{1}{i\hslash }[A,H]$

直接取等式兩邊的算子的期望值可得

$⟨\mathrm{\Psi }|\frac{d}{dt}A(t)|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\mathrm{\Psi }⟩+⟨\mathrm{\Psi }|\frac{1}{i\hslash }[A(t),H]|\mathrm{\Psi }⟩$

等式左邊的態向量不含時，因此可以把 $\frac{d}{dt}$ 一項移到狄拉克符號外，因此有

$\frac{d}{dt}⟨A(t)⟩=⟨\frac{\partial A(t)}{\partial t}⟩+\frac{1}{i\hslash }⟨[A(t),H]⟩$

實例

使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

守恆的哈密頓量

考慮哈密頓算符 $H$ ：

$\frac{d}{dt}⟨H⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[H,H]⟩+⟨\frac{\partial H}{\partial t}⟩=⟨\frac{\partial H}{\partial t}⟩$ 。

假若，哈密頓量顯性地不含時間，$\frac{\partial H}{\partial t}=0$ ，則

$⟨H⟩=H_0$ ，

哈密頓量是個常數$H_0$ 。

位置的期望值對於時間的導數

試想一個質量為 $m$ 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

$H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$ ;

其中，$x$ 為位置，$p$ 是動量，$V$ 是位勢。

應用埃倫費斯特定理，

$\frac{d}{dt}⟨x⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[x,H]⟩+⟨\frac{\partial x}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[x,H]⟩=\frac{1}{i2m\hslash }⟨[x,p^2]⟩=\frac{1}{i2m\hslash }⟨xpp-ppx⟩$。

由於 $xpp-ppx=i2\hslash p$ ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：

$\frac{d}{dt}⟨x⟩=\frac{1}{m}⟨p⟩=⟨v⟩$。

這樣，可以得到動量 $p$ 的期望值。

動量的期望值對於時間的導數

應用埃倫費斯特定理，

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,H]⟩+⟨\frac{\partial p}{\partial t}⟩$ 。

由於 $p$ 與自己互相交換，所以，$[p,p^2]=0$ 。又在坐標空間裏，動量算符 $p=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 不含時間：$\frac{\partial p}{\partial t}=0$ 。所以，

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,V]⟩$ 。

將泊松括號展開，

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{\Phi }dx-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\frac{\partial }{\partial x}\left(V\mathrm{\Phi }\right)dx$ 。

使用乘法定則，

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=⟨-\frac{\partial }{\partial x}V⟩=⟨F⟩$ 。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 $F$ 的期望值。

經典極限

取經典極限，$⟨\frac{\partial V(x)}{\partial x}⟩\approx \frac{\partial V(⟨x⟩)}{\partial ⟨x⟩}$ ，則可得到一組完全的量子運動方程式：

$\frac{d}{dt}⟨x⟩=⟨v⟩$ ，

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=-\frac{\partial V(⟨x⟩)}{\partial ⟨x⟩}$ 。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：

$\frac{dx}{dt}=v$ ，

$\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial V(x)}{\partial x}$ 。

取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記 $V{}^{\prime }(x)$ 為 $\frac{\partial V(x)}{\partial x}$ 。設定 $⟨x⟩=x_0$ 。泰勒展開 $V{}^{\prime }(x)$ 於 $x_0$ ：

$V{}^{\prime }(x)=V{}^{\prime }(x_0)+(x-x_0)V{}^{″}(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0{)}^{2}V{}^{‴}(x_0)+\dots$ 。

由於 $⟨x-x_0⟩=0$ ，$⟨(x-x_0{)}^2⟩={\sigma }_x^2$ ，

$⟨\frac{\partial V(x)}{\partial x}⟩\approx V{}^{\prime }(x_0)+\frac{1}{2}{\sigma }_x^{2}V{}^{″}(x_0)$ 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：

1. 一個是量子態對於位置的不可確定性。
2. 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

參閱

• 維里定理