圓內接四邊形的日本定理

在几何学中，圓內接四邊形的日本定理指出，圆内接四边形内某些三角形的内心形成一个矩形。

任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的内心形成一个矩形。

具体而言，设Template:Math为任意圆内接四边形， Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math分别为三角形Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math内心，则Template:Math, Template:Math, Template:Math, Template:Math所构成的四边形为矩形。

证明1

Template:Math是矩形。

$\left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|$

（以下称为$\alpha$角），因为这两个角都是弦$\overline{AD}$的周角。

因为

$\begin{array}{cc}\left|\sphericalangle A{M}_{1}D\right|& =180^{\circ }-\frac{\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}\\ & =180^{\circ }-\frac{180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}\\ & =90^{\circ }+\frac{\left|\alpha \right|}{2}\end{array}$

由此可得，

$\left|\sphericalangle A{M}_{1}D\right|=\left|\sphericalangle A{M}_{4}D\right|=90^{\circ }+\frac{\left|\alpha \right|}{2}$

由于这些角相等，$◻A{M}_1{M}_{4}D$是一个圆内接四边形。

根据圆内接四边形的性质，现在有$\left|\sphericalangle M_1{M}_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DA{M}_1\right|$

同样地，对于$◻DC{M}_4{M}_3$也成立：

$\left|\sphericalangle D{M}_4{M}_3\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|$

角度相加，得到以下结果

$\left|\sphericalangle M_1{M}_{4}D\right|+\left|\sphericalangle D{M}_4{M}_3\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DA{M}_1\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-\frac{\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}=360^{\circ }-\frac{180^{\circ }}{2}=\underset{\_}{\underset{\_}{270^{\circ }}}$

由于

$\sphericalangle M_1{M}_4{M}_3=270^{\circ }$

所以

$\sphericalangle M_3{M}_4{M}_1=90^{\circ }$

以上对于点$M_1,M_2,M_3,M_4$之间的其他角度也同样成立，它们都是$90^{\circ }$。

因此，$◻M_1{M}_2{M}_3{M}_4$是一个矩形。证毕。

证明2

根据Thébault定理(3)有如下结论： Template:Math theorem 下面开始处理原题。

先标记题目中四个三角形的内心是$I_a$、$I_b$、$I_c$、$I_d$.

假设对角线 AC 和 BD 交于 E.

与线段 AE、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{cd}$，

类似地，与线段 BE、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{da}$、与线段 CE、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{ab}$、与线段 DE、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为$O_{bc}$.

设 AE、BE 的夹角是$\theta$，根据上面的Thébault定理(3)有如下结论：

$O_{da}$、$I_d$、$O_{cd}$三点共线，且

$\frac{O_{cd}{I}_d}{I_d{O}_{da}}={\tan }^2\frac{\theta }{2}$

同理，$O_{ab}$、$I_a$、$O_{da}$三点共线，且

$\frac{O_{ab}{I}_a}{I_a{O}_{da}}={\tan }^2\frac{\theta }{2}$

所以，

$I_a{I}_d//O_{ab}{O}_{cd}$

由于 $O_{cd}{O}_{ab}\perp O_{da}{O}_{bc}$ (因为它们沿着角 $E$ 的角平分线)，所以 $I_a{I}_d\perp I_d{I}_c$，所以 $I_a{I}_b{I}_c{I}_d$ 是矩形。证毕。

推广

过$M_1,M_2,M_3,M_4$作四边形的对角线的平行线，形成一个平行四边形，由作图可知平行四边形为菱形，于是「与各对角线相切的内切圆半径之和相等」。

该定理可推广到圓內接多邊形的日本定理。

证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。

又见

• 卡诺定理
• 算額
• 日本数学

参考

• Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
• Incenters in Cyclic Quadrilateral Template:Wayback at Cut-the-Knot
• Wataru Uegaki: "Template:Nihongo2" Template:Wayback (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
• Template:Cite web
• Template:Cite book

外部链接

• gogeometry.com Template:Wayback