卡諾定理 (內切圓、外接圓)

$\begin{array}{cc}& DG+DH+DF\\ & =|DG|+|DH|-|DF|\\ & =R+r\end{array}$

设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

$O{O}_A+O{O}_B+O{O}_C=R+r$，

其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理（Template:Lang-fr），以拉扎尔·卡诺為名。

引理

在$\mathrm{△}ABC$中，$R$為$\mathrm{△}ABC$之外接圓半徑，且$r$為$\mathrm{△}ABC$之內切圓半徑，則

$r=4R\sin (\frac{A}{2})\sin (\frac{B}{2})\sin (\frac{C}{2})$

證明

假設$\mathrm{△}ABC$為銳角三角形，$D$為$\mathrm{△}ABC$之外接圓圓心，$D$至$\mathrm{△}ABC$三邊之距離分別為$\overline{DG}$、$\overline{DH}$、$\overline{DF}$，其中$\overline{DG}$為$D$至$\overline{AB}$之距離，$\overline{DH}$為$D$至$\overline{BC}$之距離，$\overline{DF}$為$D$至$\overline{AC}$之距離。連接$D$與$B$，在$\mathrm{△}HDB$中，根據三角形外心性質，可以得到

$\overline{DB}=R$

$\mathrm{\angle }HDB=\mathrm{\angle }A$

所以，可以得到$\overline{DH}$的表示式，

$\overline{DH}=R\cos (A)$

同理，亦可得到$\overline{DG}$和$\overline{DF}$的表示式，

$\overline{DG}=R\cos (C)$

$\overline{DF}=R\cos (B)$

因此，

$\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}$

$=R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))$

$=R(2\cos (\frac{A+B}{2})\cos (\frac{A-B}{2})+1-2{\sin }^2(\frac{C}{2}))$

$=R(2\cos (\frac{\pi -C}{2})\cos (\frac{A-B}{2})+1-2\sin (\frac{\pi -(A+B)}{2})\sin (\frac{C}{2}))$

$=R(2\sin (\frac{C}{2})\cos (\frac{A-B}{2})+1-2\cos (\frac{(A+B)}{2})\sin (\frac{C}{2}))$

$=R(2\sin (\frac{C}{2})(\cos (\frac{A-B}{2})-\cos (\frac{(A+B)}{2}))+1)$

$=R(4\sin (\frac{A}{2})\sin (\frac{B}{2})\sin (\frac{C}{2})+1)$

$=4R\sin (\frac{A}{2})\sin (\frac{B}{2})\sin (\frac{C}{2})+R$

根據引理，即可得證，

$\overline{DG}+\overline{DH}+\overline{DF}=R+r$

此外，若$\mathrm{△}ABC$為鈍角三角形，且$\mathrm{\angle }B$大於$90$度，其餘符號假設均與上面相同，則可以得到，

$\overline{DH}=R\cos (A)$

$\overline{DF}=R\cos (\pi -B)=-R\cos (B)$

$\overline{DG}=R\cos (C)$

所以，

$\overline{DG}+\overline{DH}-\overline{DF}$

$=R(\cos (A)+\cos (B)+\cos (C))$

$=R+r$

故得證卡諾定理。

參考資料

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