四元数与空间旋转

Template:NoteTA 单位四元数（Unit quaternion）可以用于表示三维空间裡的旋转。它与常用的另外两种表示方式（三维正交矩阵和欧拉角）是等价的，但是避免了欧拉角表示法中的万向锁问题。比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角。

基本方法

用四元数来表示旋转要解决两个问题，一是如何用四元数表示三维空间裡的点，二是如何用四元数表示三维空间的旋转。

四元数表示空间中的点

若三维空间裡的一个点的笛卡尔坐标为 (Template:Mvar,Template:Mvar,Template:Mvar)，则它用纯四元数（类似于纯虚数，即实部为0的四元数）Template:Mvar+Template:Mvar+Template:Mvar 表示。

单位四元数表示一个三维空间旋转

设 Template:Mvar 为一个单位四元数，而 Template:Mvar 是一个纯四元数，定义

$R_q(p)=qp{q}^{-1}$

则 Template:Mvar_{Template:Mvar}(Template:Mvar) 也是一个纯四元数，可以证明 Template:Mvar_{Template:Mvar} 确实表示一个旋转，这个旋转将空间的点 Template:Mvar 旋转为空间的另一个点 Template:Mvar_{Template:Mvar}(Template:Mvar)。

与正交矩阵表示的关系

四元数的表示与正交矩阵表示是等价的，这可以通过直接的代数计算得到。

仿照关于单位复数的欧拉公式的证明方法，可以得到单位四元数的欧拉公式：

$e^{\frac{\theta }{2}(xi+yj+zk)}=\cos \frac{\theta }{2}+(xi+yj+zk)\sin \frac{\theta }{2},\text{for }x,y,z\in ℝ\text{ s.t. }{x}^2+y^2+z^2=1$

显然，当 Template:Mvar=1, Template:Mvar=Template:Mvar=0 的时候就回到一般的欧拉公式。

设

$q=e^{\frac{\theta }{2}(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)}=\cos \frac{\theta }{2}+(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)\sin \frac{\theta }{2}$

$p=xi+yj+zk$

$p^{\prime }=q^{-1}pq=w+x^{\prime }i+y^{\prime }j+z^{\prime }k$

（通过下面的计算可以知道，Template:Mvar=0，即计算结果是纯四元数）

则

$q^{-1}=e^{-\frac{\theta }{2}(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)}=\cos \frac{\theta }{2}-(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)\sin \frac{\theta }{2}$

为简便起见，令

$c=\cos \frac{\theta }{2},s=\sin \frac{\theta }{2}$

$\begin{array}{ccc}{q}^{-1}pq& =& [c-(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)s](xi+yj+zk)[c+(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)s]\\ & =& [c-(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)s]\{-(u_{x}x+u_{y}y+u_{z}z)s+i[xc+(u_{z}y-u_{y}z)s]+j[yc+(u_{x}z-u_{z}x)s]+k[zc+(u_{y}x-u_{x}y)s]\}\\ & =& i\{x{c}^2+2(u_{z}y-u_{y}z)sc+[u_x(u_{x}x+u_{y}y+u_{z}z)-u_y(u_{y}x-u_{x}y)+u_z(u_{x}z-u_{z}x)]s^2\}+\dots \end{array}$

省略号表示由第一项通过简单的轮换可以得到的项。最后得到四元数的矩阵表示为

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=M(q)\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{c}^2-(1-2u_x^2)s^2& 2u_x{u}_y{s}^2+2u_{z}sc& 2u_x{u}_z{s}^2-2u_{y}sc\\ 2u_x{u}_y{s}^2-2u_{z}sc& c^2-(1-2u_y^2)s^2& 2u_y{u}_z{s}^2+2u_{x}sc\\ 2u_x{u}_z{s}^2+2u_{y}sc& 2u_y{u}_z{s}^2-2u_{x}sc& c^2-(1-2u_z^2)s^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

设

$C=\cos \theta ,S=\sin \theta$

运用简单的三角恒等变形可以得到，

$M(q)=\left[\begin{array}{ccc}C+u_x^2(1-C)& u_x{u}_y(1-C)+u_{z}S& u_x{u}_z(1-C)-u_{y}S\\ u_x{u}_y(1-C)-u_{z}S& C+u_y^2(1-C)& u_y{u}_z(1-C)+u_{x}S\\ u_x{u}_z(1-C)+u_{y}S& u_y{u}_z(1-C)-u_{x}S& C+u_z^2(1-C)\end{array}\right]$

容易验证，Template:Mvar(Template:Mvar)是正交矩阵，且行列式为+1，于是我们得到了四元数对应于正交矩阵的关系。即我们证明了Template:Mvar_{Template:Mvar}的确表示三维空间中的一个旋转。进一步由旋转的正交矩阵表示的相关知识知，上式中的 Template:Mvar 就是旋转角。

旋转轴与旋转角

由四元数的结合律马上可以得到，若Template:Mvar为单位纯四元数，则

$R_{e^{i\lambda r}}(kr)=e^{-i\lambda r}kr{e}^{i\lambda r}=kr,\mathrm{\forall }\lambda ,k\in ℝ$

这表明Template:Mvar在旋转操作下不变，也就是Template:Mvar给出旋转的旋转轴（当然Template:Mvar也给出旋转的旋转轴），不妨取Template:Mvar=Template:Mvar，由四元数的欧拉公式我们马上知道，任给一个单位四元数Template:Mvar，计算它的虚部，我们就马上可以知道转轴是什么。

同时，根据四元数的正交矩阵表示，我们又可以马上得到，计算一个单位四元数的实部，它的反余弦值给出旋转角的一半。于是我们马上可以看到用四元数相对于正交矩阵表示的优势：在四元数表示下，计算转轴和旋转角变得异常简单。

进一步地，这表明了三维空间中的每一个旋转都可以用单位四元数表出。若进一步要求 Template:Mvar_{Template:Mvar} 非负，则这种表出是唯一的。

旋转操作的复合

显然有：

$R_{q_1{q}_2}(p)=(q_1{q}_2)p(q_1{q}_2{)}^{-1}=q_1{q}_{2}p{q}_2^{-1}{q}_1^{-1}=R_{q_1}[R_{q_2}(p)]$

于是两个旋转操作的复合，只需要将对应的单位四元数相乘，这一点比欧拉角表示要简单。

与超球面、典型群、自旋群的关系

首先很容易看到，单位四元数与3-球面Template:Mvar³（或三维实射影空间，RP³）同构。

其次，根据单位四元数的矩阵表示，我们又知道，存在一个单位四元数到特殊正交群 SO(3) 的同态，但这不是同构。给定一个角 Template:Mvar， 2π+Template:Mvar 与 Template:Mvar 对应的正交矩阵相同，但是由欧拉公式给出的单位四元数不同（恰好相反）。实际上，这反映了在三维空间中旋转 2π 弧度和旋转 4π 弧度是不等价的，参见旋量。

事实上，单位四元数群与自旋群 Spin(3) 同构。这也表明，Template:Mvar³与自旋群 Spin(3) 同构。进一步地，它们微分同胚。

另一方面，单位四元数群与复数域上的2-球面同构，于是与特殊正交群 SO(2,C) 同构，而后者实际上就是特殊酉群 SU(2)。Template:Mvar³ 与 SU(2) 也是微分同胚的。

参考

• Simon L. Altman (1986) Rotations, Quaternions, and Double Groups, Dover Publications.
• Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979

外部連結

• 線代啟示錄—四元數與三維空間旋轉Template:Wayback
• 四元數與旋轉Template:Wayback