哈代—拉馬努金定理

在數學上，哈代—拉馬努金定理是由拉馬努金證明、由哈代檢驗的公式。^[1]公式斷言，若 $ω (n)$ 是正整數 $n$ 彼此相異的質因數個數，那麼其Template:Link-en為 $\log \log (n)$ 。

換句話說，絕大多數的正整數相異的質因數個數大略為 $\log \log (n)$ 。

精確描述

一個更精確的敘述是，若 $ψ (n)$ 是任意實數函數，且在 $n$ 趨近於無限時會趨近於無限的話，那麼以下關係式對幾乎所有的整數成立（也就是例外的比例無限小）：

| ω (n) - \log \log n | < ψ (n) \sqrt{\log \log n}

更傳統的關係式如下：

| ω (n) - \log \log n | < {(\log \log n)}^{\frac{1}{2} + ε}

換句話說，若 $g (x)$ 是不大於 $x$ 且是上式例外的正整數 $n$ 的個數的話，那麼在 $x$ 趨近於無限時， $g (x) / x$ 趨近於零。

圖蘭·帕爾在1934年找到了上式的簡單證明，他用圖蘭篩法證明了下式：（Template:Harvtxt）

\sum_{n \leq x} | ω (n) - \log \log x |^{2} ≪ x \log \log x .

若將 $ω (n)$ 換成 $Ω (n)$ ，即正整數 $n$ 質因數總數、將重複質因數重複計算，類似的結果仍然成立。

另外，這定理後來被推廣為Template:Link-en；而艾狄胥—卡滋定理指出 $ω (n)$ 的數值基本呈現正態分布。