否定後件

在经典逻辑中，否定后件（Template:Lang-la）有如下论证形式：

如果P，则Q。

非Q。

所以，非P。

它也可也被认为是否定结论，是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与歸謬法 (Proof by contradiction)（假设命题的否定成立，证明这会导致矛盾）或者反證法 (Proof by contrapositive)（证明如果P则Q，通过证明如果非Q则非P的方法实现）相混淆。

例子

歸謬法的例子如下：

• 假定$G$是一個有限循環群，且$G$是單群，則$G$的階為質數。
• 也就是說，
• 若$G$的階不是質數，則$G$不是有限循環群，或者$G$不是單群。
• 證明：
  • 假定原論述不成立，那麼就表示「$G$的階不是質數」是錯的
  • 也表示說「若$G$的階不是質數，則$G$不是有限循環群，或者$G$不是單群。」是錯的
  • 這就表示「有個集合$G$是有限循環群，且$G$是單群」，而且「$G$的階不是質數」
  • 現在假定$G$的階是$n$，生成元是$a$，$G$單位元則記做$e$，因此有$e=a^n$
  • 由於$G$是循環群，因此$G$且$a$是生成元，因此$G$的所有元素都可表示成$a^k$的形式，其中$0\le k<n$；又$n$不是不是質數，因此存在兩個大於等於2的正整數$p$和$q$，使得$n=pq$
  • 由此可知，$a^p$是$G$的元素，且$(a^p{)}^q=a^{pq}=a^n=e$
  • 所有形如$(a^p{)}^y=a^{py}$的元素可構成$G$的一個真子群$H$，且$H\ne \{e\}$。
  • 由於$G$是循環群，因此$G$是一個交換群。
  • 由於$G$是交換群，因此$G$的所有子群都是正規子群。
  • $H$是$G$的一個真子群。
  • $H$是$G$的一個正規子群。
  • $G$有$\{e\}$和自身以外的正規子群，此與$G$是單群的假設矛盾。
  • 這表示先前的假設「『若$G$的階不是質數，則$G$不是有限循環群，或者$G$不是單群。』是錯的」這條是錯的。
  • 因此原論述「假定$G$是一個有限循環群，且$G$是單群，則$G$的階為質數。」是對的。

证明

步骤	命题	推论
1	$P\to Q$	已知
2	$\mathrm{\neg }Q$	已知
3	$\mathrm{\neg }P\vee Q$	實質條件 (1)
4	$\mathrm{\neg }P$	選言三段論 (3,2)

参见

• 肯定前件
• 肯定後件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 否定前件（一種邏輯上無效的論證形式）
• 推理规则