向量組的秩

定义

一般定义

向量組的秩即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數.

维数定义

在向量空间$ℝ$ⁿ中任意向量组构成的集合$\{X_1,X_2,...,X_r\}$（可能是无限的），那么该与该向量组对应的向量子空间$<X_1,X_2,...,X_r>$的维数$r$≤$n$那么这个$n$就叫该向量组的秩.

举例

舉例來說，設有一向量組$S:\{a_1,a_2,...,a_m\}$，若存在r個向量$a_1,a_2,...,a_r\in S$，且r個向量為向量組$S$的最大線性無關組，則此最大線性無關組的向量個數r，即為向量組$S$的秩.

假设矩阵A的列秩为r，记矩阵A的列向量为$c_1,c_2,\cdots ,c_n$，于是能找到r个线性无关的列向量，使得等式$x_1{c}_{i_1}+x_2{c}_{i_2}+\cdots +x_r{c}_{i_r}=0$只有零解.另一方面，可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩$\ge r$.于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的.给这些行向量增加若干个分量，我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量.因此矩阵A的行秩必然$\ge$列秩.同样可证矩阵A的列秩$\ge$行秩.所以行秩等于列秩.记之为矩阵的秩.