向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。

$\mathrm{grad}\equiv \mathrm{\nabla }$

$\mathrm{div}\equiv \mathrm{\nabla }\cdot$

$\mathrm{curl}\equiv \mathrm{\nabla }\times$

拉普拉斯算符表示为：

${\mathrm{\nabla }}^2\equiv \mathrm{div}\mathrm{grad}\equiv \mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$

向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如：

$\mathrm{\nabla }f$

得到f的梯度，但是

$f\mathrm{\nabla }$

是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。 Template:TOC limit

三維空間中的純量函數與向量函數

純量函數

令 $U$ 為空間位置 $(x,y,z)$ 的Template:Link-en ，例如：

$U(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=r^2$

表示了一個球面，這是一個标量场，其中每點的值等於該球半徑的平方。

向量函數

令 $V$ 為空間位置 $(x,y,z)$ 的向量函數 ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：

$V(x,y,z)=V_x(x,y,z)\hat{i}+V_y(x,y,z)\hat{j}+V_z(x,y,z)\hat{k}$

梯度與Nabla算子的定義

Template:Main 純量函數 $U(x,y,z)$ 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：

$\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z}$

因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：

$\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i},\frac{\partial U}{\partial y}\hat{j},\frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}$

其加總即為 $U$ 的組合變率：

$\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}$

如同微分算子 $D$ 被用來表示某函數的導數，例如 $D(f)$ 或 $Df$，我們使用 $\mathrm{\nabla }$ 來表示組合變率：

$\mathrm{\nabla }U=\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}=V(x,y,z)$

其中 $V$ 為一向量函數。組合變率 $\mathrm{\nabla }U$ 稱為 $U$ 的導數（derivative），$U$ 則稱為 $\mathrm{\nabla }U$ 的本原（primitive）。

$\mathrm{\nabla }U$ 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 $U$ 的梯度、或斜率。

Nabla算子的單獨使用

Template:Main 我們可以把 $\mathrm{\nabla }$ 當作一個函數，唸為 $del$，記為 $\mathrm{grad}$，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：

$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k}$，因此：

$\mathrm{\nabla }U=(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})(U)=\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}=\mathrm{grad}U$

將 $\mathrm{\nabla }$ 當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。

散度：Nabla算子與向量函數的內積

Template:Main 將 $\mathrm{\nabla }$ 當作一個形式向量，與向量函數 $V$ 做內積：

$\mathrm{\nabla }\cdot V=(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\cdot (V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k})=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}=U(x,y,z)$

這裡得到一個純量函數 $U$，稱為 $V$ 的散度。

我們也可以將 $\mathrm{\nabla }\cdot$ 當作一個算子，唸為 $deldot$，記為 $\mathrm{div}$，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：

$\mathrm{\nabla }\cdot V=\mathrm{div}V=\hat{i}\cdot \frac{\partial V}{\partial x}+\hat{j}\cdot \frac{\partial V}{\partial y}+\hat{k}\cdot \frac{\partial V}{\partial z}$

旋度：Nabla算子與向量函數的叉積

Template:Main 將 $\mathrm{\nabla }$ 當作一個形式向量，與向量函數 $V$ 做叉積：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times V& =(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\times (V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k})\\ & =\hat{i}(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z})+\hat{j}(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x})+\hat{k}(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y})=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ V_x& V_y& V_z\end{array}\right|\end{array}$

這裡得到一個向量函數，稱為 $V$ 的旋度。

我們也可以將 $\mathrm{\nabla }\times$ 當作一個算子，唸為 $delcross$，記為 $\mathrm{curl}$，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：

$\mathrm{\nabla }\times V=\mathrm{curl}V=\hat{i}\times \frac{\partial V}{\partial x}+\hat{j}\times \frac{\partial V}{\partial y}+\hat{k}\times \frac{\partial V}{\partial z}$

拉普拉斯算子

Template:Main 對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\cdot (\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

這稱為拉普拉斯算子，記為 ${\mathrm{\nabla }}^2$ 或者 $\mathrm{\Delta }$，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

参见

• Nabla算符
• 达朗贝尔算符
• Vector Analysis, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

延伸阅读

• H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.