威尔逊定理

Template:Refimprove 威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1771年由拉格朗日首次证明。

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为質數的充分必要条件。即：当且仅当$p$为質數时：

$(p-1)!\equiv -1(\text{mod}p)$

证明

充分性

如果 $p$ 不是質數，那么它的正因数必然包含在整数 $2,3,4,\cdots ,p-1$ 中，因此 $\gcd ((p-1)!,p)>1$ ，所以不可能得到 $(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p)$。

必要性

若$p$是質數，取集合 $A=\{1,2,3,...p-1\}$， 则$A$构成模$p$乘法的缩系，即任意 $i\in A$，存在 $j\in A$，使得：

$(ij)\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

這幾乎說明$A$中的元素恰好两两配对。僅有滿足

$x^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

的元素$x$是例外。

上式解得

$x\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

或

$x\equiv p-1(\mathrm{mod}p)$

其余两两配对，故而

$(p-1)!\equiv 1\times (p-1)\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

若$p$不是質數且大于4， 则易知有$d=\gcd [p,(p-1)!]=p,$

故而

$(p-1)!\equiv -1(\mathrm{mod}p).$

推論

可以藉此推論$(p-2)!\equiv 1(\mathrm{mod}p)$如下：

$(p-2)!\equiv -(p-1)(p-2)!\equiv -(p-1)!\equiv 1(\mathrm{mod}p)$