史拉斯基定理

在概率論，史拉斯基定理將實數列極限的若干代數性質推廣到隨機變量序列。

定理得名自尤金·史拉斯基。史拉斯基定理有時歸功於哈拉爾德·克拉梅爾。Template:NoteTag

敘述

設$(X_n),(Y_n)$為隨機純量、向量或矩陣序列。若$(X_n)$依分佈收斂至随机元素$X$，且$(Y_n)$依概率收斂至常數$c$，則

• $(X_n+Y_n)\stackrel{d}{\to }X+c;$
• $(X_n{Y}_n)\stackrel{d}{\to }Xc;$
• $(X_n/Y_n)\stackrel{d}{\to }X/c,$   若c可逆，

其中$\stackrel{d}{\to }$表示依分佈收斂。

說明

1. $(Y_n)$趨向於常數的條件不能省略。假如允許趨向於非退化的隨機元，則定理不再成立。例如，設$X_n\sim \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(0,1)$，$Y_n=-X_n$，則對所有$n$，皆有和$X_n+Y_n=0$。再者，$Y_n\stackrel{d}{\to }\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(-1,0)$，但$X_n+Y_n$並不依分佈收斂至$X+Y$，其中$X\sim \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(0,1)$，$Y\sim \mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}(-1,0)$，$X$和$Y$獨立。
2. 若將定理中，所有「依分佈收斂」改成「依概率收斂」，則結論仍然成立。

證明

引用以下引理：若$(X_n)$依分佈收斂至$X$，且$(Y_n)$依概率收斂至常數$c$，則聯合向量$(X_n,Y_n)$依分佈收斂到$(X,c)$。

現對上述依分佈的收斂使用連續映射定理。由$f(x,y)=x+y$，$g(x,y)=xy$，$h(x,y)=x{y}^{-1}$定義的函數$f,g,h$皆為連續函數（為使$h$連續，要求$y$可逆），故由連續映射定理，史拉斯基定理成立。

參見

• 隨機變數的收斂