史密斯标准形

数学中，史密斯标准形（SNF）是适用于所有元素都位于主理想域（PID）的矩阵的标准形（不必是方阵）。史密斯标准形是对角矩阵，可以从原始矩阵左右乘可逆方阵得到。特别地，整数构成一个PID，所以总可以计算出任何整数矩阵的史密斯标准形。史密斯标准形对于处理PID上的有限生成模，尤其是推导自由模之商的结构时非常有用。史密斯标准形得名于爱尔兰数学家Henry John Stephen Smith。

定义

令A为主理想域R上的非零m×n矩阵。存在可逆$m\times m$、$n\times n$方阵S, T（系数在R中），使得它们的积S A T为

$\left(\begin{array}{ccccccc}{\alpha }_1& 0& 0& & \cdots & & 0\\ 0& {\alpha }_2& 0& & \cdots & & 0\\ 0& 0& \ddots & & & & 0\\ ⋮& & & {\alpha }_r& & & ⋮\\ & & & & 0& & \\ & & & & & \ddots & \\ 0& & & \cdots & & & 0\end{array}\right).$

对角元素${\alpha }_i$满足$\mathrm{\forall }1\le i<r,{\alpha }_i\mid {\alpha }_{i+1}$。这就是矩阵A的史密斯标准形。元素${\alpha }_i$在乘法意义上是唯一的，是可逆元，称为基本除子、不变量或不变因子。它们的计算公式为

${\alpha }_i=\frac{d_i(A)}{d_{i-1}(A)},$

其中$d_i(A)$（即第i个行列式因子）等于矩阵A 所有$i\times i$子式的行列式的最大公因数，且$d_0(A):=1$。

算法

第一个目标是找到可逆方阵$S$、$T$使得$SAT$为对角阵。这是算法中最难的部分。一旦实现了对角化，将矩阵转化为史密斯标准形就相对简单了。更抽象地说，我们的目标是证明$A$可以视为从$R^n$（秩为$n$的自由$R$-模）到$R^m$（秩为$m$的自由$R$-模）的映射，且有同构$S:R^m\to R^m$、$T:R^n\to R^n$，使得$S\cdot A\cdot T$具有对角矩阵的简单形式。$S$、$T$可用以下方法得到：从适当大小的单位阵开始，每次在算法中对$A$进行行运算时，都将相应的列运算施于$S$（例如，若$A$的$i$行加在$j$行上，则$S$的$i$列应减去$j$ ，以保持乘积不变），同理，每次列运算都相应地修改$T$、由于行运算是左乘，列运算是右乘，这也就保持了$A^{\prime }=S^{\prime }\cdot A\cdot T^{\prime }$不变，其中$A^{\prime },S^{\prime },T^{\prime }$表示当前值，$A$表示原矩阵；最终，不变式中的矩阵变为对角阵。

对于$a\in R\setminus \{0\}$，记$\delta (a)$为$a$的素因子数（素因子存在且唯一，因为PID都是唯一分解整环） 。特别地，$R$也是贝祖环，因此是GCD环，任意两元素的gcd满足贝祖等式。

要将矩阵转为史密斯标准形，可以重复应用下面的公式，其中$t$从1到$m$循环。

第一步：选择主元

择$j_t$为$A$中非零元所在的最小列数，若$t>1$则从第$j_{t-1}+1$列开始搜索。

我们希望$a_{t,j_t}\ne 0$；若是这种情况，这步就完成了。否则，根据假设，存在某个$k$，使$a_{k,j_t}\ne 0$，且我们可以交换$t$行与$k$行，得到$a_{t,j_t}\ne 0$。

现在我们选择的主元位于$(t,j_t)$。

第二步：改进主元

若(k,j_t)上有元素使$a_{t,j_t}\nmid a_{k,j_t}$，则令$\beta =\gcd (a_{t,j_t},a_{k,j_t})$，根据贝祖性质我们知道R中存在σ、τ使

$a_{t,j_t}\cdot \sigma +a_{k,j_t}\cdot \tau =\beta .$

与适当的可逆阵L左乘，矩阵乘积的第t行是原矩阵第t行的σ倍与第k行的τ倍的和，乘积的第k行则是这些行的另一个线性组合，其他行则保持不变。若σ、τ满足上市，则对于$\alpha =a_{t,j_t}/\beta$和$\gamma =a_{k,j_t}/\beta$（根据β的定义，这样作商是可能的），可以得到

$\sigma \cdot \alpha +\tau \cdot \gamma =1,$

那么矩阵

$L_0=\left(\begin{array}{cc}\sigma & \tau \\ -\gamma & \alpha \end{array}\right)$

可逆，其逆为

$\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\tau \\ \gamma & \sigma \end{array}\right).$

现在L可以通过将$L_0$放入单位阵的t~k行列来得到。根据构造，L左乘后得到的矩阵在(t,j_t)的位置上有元素β（由于我们选择了α、γ，(k,j_t)上也有元素0，虽然这对算法并不重要，但很有用）。这个新元素β除了原元素$a_{t,j_t}$，因此$\delta (\beta )<\delta (a_{t,j_t})$；因此重复这些步骤最后必须终止。最终得到的矩阵的(t,j_t)元素除以了j_t列的所有元素。

第三步：消除元素

最后，加上第t行的适当倍数，可以使j_t列中除(t,j_t)外的所有元素都变为零。这也可以通过左乘适当的矩阵来实现。不过，为使矩阵完全对角，还需消除(t,j_t)所在行上的非零元素，这可以通过对列重复第二步中的算法来实现，并与得到的矩阵L的转置右乘。一般来说，这会导致之前应用第三步时消除的元素再次变为非零。

注意，对行列每次应用第二步的算法都必须减少$\delta (a_{t,j_t})$的值，因此这一过程须在一定迭代次数后终止，使矩阵中(t,j_t)元素是所在行列中的唯一非零元。

这时，只需对(t,j_t)右下方的A块进行对角化，从概念上讲这个算法可以递归应用，将块视为单独的矩阵。换句话说，可以将t增加1，然后回到第一步。

最后一步

将上述步骤用于结果矩阵的剩余非零列（如果有的话），最后得到$m\times n$矩阵，列为$j_1<\dots <j_r$，其中$r\le \min (m,n)$。矩阵非零元只有$(l,j_l)$。

现在可以把空列向右移动，这样非零元就到了位置$(i,i)(1\le i\le r)$。简而言之，设${\alpha }_i$为$(i,i)$上的元素。

对角元的可除性条件可能不能满足。$\mathrm{\forall }i<r$使${\alpha }_i\nmid {\alpha }_{i+1}$，可以只对$i$、$i+1$行列进行操作来弥补这一缺陷：首先将第$i+1$列加到$i$列，以在第i列得到${\alpha }_{i+1}$元素而不影响$(i,i)$位置上的元素${\alpha }_i$，然后应用行运算使$(i,i)$元素等于$\beta =\gcd ({\alpha }_i,{\alpha }_{i+1})$，如第二步所述；最后按第三步方法，使矩阵再次对角化。由于$(i+1,i+1)$的新条目是原${\alpha }_i,{\alpha }_{i+1}$的线性组合，所以可以被β除。

$\delta ({\alpha }_1)+\cdots +\delta ({\alpha }_r)$的值不会因为上述操作而改变（它是上$r\times r$子阵的行列式的δ），因此操作确实（通过向右移动因子）减小了

$\sum _{j=1}^r(r-j)\delta ({\alpha }_j).$

所以，这算法只能应用有限次，意味着我们已经如愿得到了${\alpha }_1\mid {\alpha }_2\mid \cdots \mid {\alpha }_r$。

由于所有行列运算都可逆，这就表明存在可逆方阵$m\times m$、$n\times n$S, T使乘积S A T满足史密斯标准形的定义。特别地，这表明史密斯标准形一定存在，无需证明。

应用

链复形的链模为有限生成模时，史密斯标准形对计算链复形的同调将十分有用。例如，拓扑学中，可用于计算整数上有限单纯复形或CW复形的同调，因为这种复形的边界映射的整数矩阵；还可用于确定主理想域上有限生成模结构定理中出现的不变因子，其中包括了有限生成阿贝尔群基本定理。

控制论中，史密斯标准形还用于计算传递函数矩阵的零点。

例子

求下列整数矩阵的史密斯标准形：

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 4\\ -6& 6& 12\\ 10& 4& 16\end{array}\right)$

下面的矩阵是算法应用于上述矩阵的中间步骤。

$\to \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -6& 18& 24\\ 10& -16& -4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 18& 24\\ 0& -16& -4\end{array}\right)$

$\to \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 20\\ 0& -16& -4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 20\\ 0& 0& 156\end{array}\right)$

$\to \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 156\end{array}\right)$

所求史密斯标准形为

$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 156\end{array}\right)$

不变因子为2、2、156。

矩阵相似

史密斯标准形可用于判定元素属于同一域的两个矩阵是否相似。具体来说，当且仅当特征矩阵$xI-A$、$xI-B$有相同的史密斯标准形时，A、B相似。

例如

$\begin{array}{cccc}A& =\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right],& & \text{SNF}(xI-A)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& (x-1{)}^2\end{array}\right]\\ B& =\left[\begin{array}{cc}3& -4\\ 1& -1\end{array}\right],& & \text{SNF}(xI-B)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& (x-1{)}^2\end{array}\right]\\ C& =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right],& & \text{SNF}(xI-C)=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& (x-1)(x-2)\end{array}\right].\end{array}$

A、B相似是因为它们特征矩阵的史密斯标准形相同，而与C不相似，因为它们特征矩阵的史密斯标准形不同。

另见

• 规范形
• 丢番图方程
• 弗罗贝尼乌斯标准形（也称为有理规范形）
• 埃尔米特标准形
• 奇异值分解

参考文献

• Template:Cite journal Reprinted (pp. 367–409) in The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, Vol. I, edited by J. W. L. Glaisher. Oxford: Clarendon Press (1894), xcv+603 pp.
• Template:PlanetMath
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• K. R. Matthews, Smith normal form Template:Wayback. MP274: Linear Algebra, Lecture Notes, University of Queensland, 1991.

外部链接

• An animated example of computation of Smith normal form Template:Wayback.