可分離變數的偏微分方程

Template:NoteTA Template:Main 可分離變數的偏微分方程（PDE）是指一種偏微分方程，在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成常微分方程。

分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積，而每個函數只有一個自變數。例如給予一個 $n$ 元函數 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的偏微分方程，猜想解答的形式為

$F=F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_n(x_n)$ 。

這是一種特別的分離變數法，稱為$R$-分離變數法，此方式是將解寫成和座標有關的固定函數，以及以各座標為自變數函數的乘積。${ℝ}^n$上的拉普拉斯方程是一個可以用$R$-分離變數法求解的偏微分方程的例子，在三維空間下會用Template:Le來求解。

偏微分方程的分離變數法和常微分方程的分離變數法不同，後者是指問題可以變成二個積分相等的形式。

範例

例如，考慮非時變的薛丁格方程

$[-{\mathrm{\nabla }}^2+V(𝐱)]\psi (𝐱)=E\psi (𝐱)$

針對函數$\psi (𝐱)$（為簡化問題，其為無因次量）（等效的作法是考慮非齊次的亥姆霍兹方程）。若三維函數$V(𝐱)$形式如下

$V(x_1,x_2,x_3)=V_1(x_1)+V_2(x_2)+V_3(x_3),$

則此問題可以分解為三個一維的常微分方程，函數分別是${\psi }_1(x_1)$、${\psi }_2(x_2)$及${\psi }_3(x_3)$，最後的解可以寫成$\psi (𝐱)={\psi }_1(x_1)\cdot {\psi }_2(x_2)\cdot {\psi }_3(x_3)$。（薛丁格方程中可以分離變數求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列舉）。