变分

变分是在應用數學與變分法中泛函应对与函数中的微分使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。

函数的变分

设极值曲线为$\hat{y}=\hat{y}(x)$，可取曲线为$y=y(x)$。定义$\delta y=\hat{y}-y$为y的一次变分，即函数y的增量。从而可得$\delta y^{\prime }={\hat{y}}^{\prime }-y^{\prime }$

对隐函数$\phi (x,y)=0$，其一次变分即为全微分：$\delta \phi =\delta y\frac{\partial \phi }{\partial y}+\delta x\frac{\partial \phi }{\partial x}$。由于x无增量，即$\delta x=0$，故有$\delta \phi =\delta y\frac{\partial \phi }{\partial y}$。

泛函的变分

对泛函$\underset{y}{\min }J(y)=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}F(x,y(x),y^{\prime }(x))dx$，

可得$J(\hat{y})-J(y)=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}(\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime })dx+O(\delta y)$，其一次变分是其Taylor级数的一次项，即$\delta J=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}(\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\delta y^{\prime })dx$，或直接定義一次变分為 $\delta J(y,h)=\frac{d}{d\epsilon }J(y+\epsilon h){|}_{\epsilon =0}$ 。

故其二次变分为其Taylor级数的二次项，即${\delta }^{2}J=\frac{1}{2}\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}(\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}(\delta y{)}^2+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y\partial y^{\prime }}\delta y\delta y^{\prime }+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y{\text{'}}^2}(\delta y^{\prime }{)}^2)dx$。

需要注意，与二阶微分$d^{2}y=d(dy)$不同，泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。

實例

計算 $J(y)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}y{y}^{\prime }dx$的一次變分？

$\delta J(y,h)$	$=\frac{d}{d\epsilon }J(y+\epsilon h){|}_{\epsilon =0}$
	$=\frac{d}{d\epsilon }\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y+\epsilon h)(y^{\prime }+\epsilon h^{\prime })dx{|}_{\epsilon =0}$
	$=\frac{d}{d\epsilon }\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y{y}^{\prime }+y\epsilon h^{\prime }+y^{\prime }\epsilon h+{\epsilon }^{2}h{h}^{\prime })dx{|}_{\epsilon =0}$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{d\epsilon }(y{y}^{\prime }+y\epsilon h^{\prime }+y^{\prime }\epsilon h+{\epsilon }^{2}h{h}^{\prime })dx{|}_{\epsilon =0}$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y{h}^{\prime }+y^{\prime }h+2\epsilon h{h}^{\prime })dx{|}_{\epsilon =0}$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(y{h}^{\prime }+y^{\prime }h)dx$

参见

• 泛函
• 变分法
• 控制论

参考文献

外链

• Exampleproblems.comTemplate:Wayback有更多計算泛函一次變分的實例。