双重梅森数

Template:Expand Template:NoteTA 双重梅森数（Template:Lang-en）是指可以用以下形式表示的梅森數：

$M_{M_n}=2^{2^n-1}-1$

其中n為正整數。

双重梅森数的數列如下

$M_{M_1}=M_1=1$

$M_{M_2}=M_3=7$

$M_{M_3}=M_7=127$

$M_{M_4}=M_{15}=32767$

$M_{M_5}=M_{31}=2147483647$ Template:OEIS

双重梅森数的2倍加3是費馬數。

雙重梅森質數

若雙重梅森數本身也是質數，則稱為雙重梅森質數。由於梅森數M_p為質數的必要條件是p為質數，因此雙重梅森數$M_{M_p}$為質數的必要條件是$M_p$為梅森質數。

頭幾個雙重梅森質數如下：

$M_{M_2}=M_3=7$

$M_{M_3}=M_7=127$

$M_{M_5}=M_{31}=2147483647$

$M_{M_7}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$ Template:OEIS.

頭幾個使M_p為質數的p值為p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127Template:OEIS。在p為2, 3, 5, 7時，$M_{M_p}$為質數，但在p = 13, 17, 19及31時，$M_{M_p}$不是質數，下一個雙重梅森數$M_{M_{61}}$還不確定是否是質數，其數值為2^{2305843009213693951} − 1，大約是1.695Template:E，目前已知的素性测试無法處理這麼大的數字，已知在小於4×10³³的整數中，沒有$M_{M_{61}}$的質因數。可能除了上述的四個雙重梅森質數外，不存在其他的雙重梅森質數。。

和大眾娛樂的關係

在乃出個未來電影版《The Beast with a Billion Backs》中，雙重梅森數$M_{M_7}$出現在「哥德巴赫猜想的大略證明」中，其中該數字被稱為「火星素數」（martian prime）。

相關條目

• 完全數
• 費馬數
• 韋伊費列治素數
• 雙重指數

延伸閱讀

• Template:Citation.

外部連結

• Template:MathWorld
• Tony Forbes, A search for a factor of MM61Template:Wayback.
• Status of the factorization of double Mersenne numbers
• Double Mersennes Prime SearchTemplate:Wayback
• Operazione Doppi MersennesTemplate:Wayback