厄爾米特小波

Template:Unreferenced 埃爾米特小波由埃爾米特多項式組成，第n個埃爾米特小波來自於高斯函數的第n階導數。

物理學上的埃爾米特多項式定義為

$H_m(x)=(-1{)}^m{e}^{x^2}\frac{d^m}{d{x}^m}{e}^{-x^2}$

可以用遞迴方式得到:

$H_0(x)=1$

$H_1(x)=2x$

$H_{m+1}(x)=2x{H}_m(x)-2m{H}_{m-1}(x),m=1,2,3....$

連續小波轉換的母小波可以表示成

${\psi }_{a,b}(x)=\frac{1}{\sqrt{a}}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)$ ，其中a是膨脹參數，b是位移， a,b∈R且 a≠0

若$a=2^{-k}$ ，$b=n{2}^{-k}$，則變成具有離散參數的小波轉換:

${\psi }_{k,n}(x)=2^{\frac{k}{2}}\psi \left(2^{k}x-n\right)$，其中k,n∈R

埃爾米特小波的母小波定義為 ${\psi }_{n,m}(x)=\psi (k,n,m,x)$，包含四個參數，其中k是任意正整數，影響母小波的縮放，$n=1,2,...2^{k-1}$ 影響母小波的平移位置，m是埃爾米特多項式的階層，其定義在[0,1)，數學式如下:

${\psi }_{n,m}(x)=\{\begin{array}{c}{2}^{\frac{k}{2}}\sqrt{\frac{1}{n!2^n\sqrt{\pi }}}{H}_m(2^{k}x-2n+1),\frac{n-1}{2^{k-1}}\le x<\frac{n}{2^{k-1}}\\ 0,otherwise\end{array}$

參考文獻

• M.R. Walton and H.E. Hanrahan (1993), Hermite wavelets for multicarrier data transmission
• Muhammad Usman and Syed Tauseef Mohyud-Din(2013), Physicists Hermite wavelet method for singular differential equations Template:Wayback
• Umer Saeed and Mujeeb ur Rehman(2014), Hermite Wavelet Method for Fractional Delay Differential Equations Template:Wayback