卢卡斯数列

卢卡斯数列是斐波那契数和卢卡斯数的推广，以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。

递推关系

给定两个整数P和Q，满足：

$P^2-4Q\ne 0$

则第一类卢卡斯数列U_n(P,Q)和第二类卢卡斯数列V_n(P,Q)由以下递推关系定义：

$U_0(P,Q)=0$

$U_1(P,Q)=1$

$U_n(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q),n>1$

以及

$V_0(P,Q)=2$

$V_1(P,Q)=P$

$V_n(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q),n>1$

代数关系

卢卡斯数列的特征方程是：

$x^2-Px+Q=0$

它的判别式是$D=P^2-4Q$，它的根是：

$a=\frac{P+\sqrt{D}}{2},b=\frac{P-\sqrt{D}}{2}.$

注意a和b是不同的，因为$D\ne 0.$

卢卡斯数列的项可以用a和b的项定义如下：

$U_n(P,Q)=\frac{a^n-b^n}{a-b}=\frac{a^n-b^n}{\sqrt{D}}$

$V_n(P,Q)=a^n+b^n$

从中我们可以推出以下关系：

$a^n=\frac{V_n+U_n\sqrt{D}}{2}$

$b^n=\frac{V_n-U_n\sqrt{D}}{2}$

其他关系

不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系，在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如：

一般	P=1, Q=-1
$U_n=\frac{V_{n+1}-Q{V}_{n-1}}{P^2-4Q}$	$U_n=\frac{V_{n+1}+V_{n-1}}{5}$
$V_n=U_{n+1}-Q{U}_{n-1}$	$V_n=U_{n+1}+U_{n-1}$
$U_{2n}=U_n{V}_n$	$U_{2n}=U_n{V}_n$
$V_{2n}=V_n^2-2Q^n$	$V_{2n}=V_n^2-2(-1{)}^n$
$U_{n+m}=U_n{U}_{m+1}-Q{U}_m{U}_{n-1}$	$U_{n+m}=U_n{U}_{m+1}+U_m{U}_{n-1}$
$V_{n+m}=V_n{V}_m-Q^m{V}_{n-m}$	$V_{n+m}=V_n{V}_m-(-1{)}^m{V}_{n-m}$

特殊名称

对于某些P和Q的值，卢卡斯数列有特殊名称：

U_n(1,−1)：斐波那契数

V_n(1,−1)：卢卡斯数

U_n(2,−1)：佩尔数

U_n(1,−2)：Jacobsthal数

应用

• LUC是一个基于卢卡斯数列的密码系统。

参考文献

• Template:Cite book
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• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).