协变经典场论

近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。 本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

记法

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令$\overline{\mathrm{\Gamma }}(\pi )$表示有紧支撑的$\pi$的截面。

作用量积分

一个经典场论数学上可以如下表述

• 一个纤维丛 $(ℰ,\pi ,ℳ)$，其中$ℳ$表示一个$n$维时空。
• 一个拉格朗日量形式 $\mathrm{\Lambda }:J^1\pi \to {\mathrm{\Lambda }}^{n}M$

令$\star 1$代表$M$上的体积形式，则$\mathrm{\Lambda }=L\star 1$，其中$L:J^1\pi \to ℝ$是拉格朗日量函数。 我们在 $J^1\pi$上选择纤维化坐标$\{x^i,u^{\alpha },u_i^{\alpha }\}$，使得

$\star 1=d{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^n$

作用量积分定义为

$S(\sigma )=\underset{\sigma (ℳ)}{\int }(j^1\sigma {)}^{*}\mathrm{\Lambda }$

其中$\sigma \in \overline{\mathrm{\Gamma }}(\pi )$，并定义于开集$\sigma (ℳ)$，而$j^1\sigma$代表其第一射流延长(jet prolongation)。

作用量积分的变分

截面$\sigma \in \overline{\mathrm{\Gamma }}(\pi )$的变分由曲线${\sigma }_t={\eta }_t\circ \sigma$给出，其中${\eta }_t$是一个$ℰ$上的$\pi$-竖直向量场$V$的流，它在$ℳ$上有紧支撑。 截面$\sigma \in \overline{\mathrm{\Gamma }}(\pi )$称为变分的驻点，如果

${\frac{d}{dt}|}_{t=0}\underset{\sigma (ℳ)}{\int }(j^1{\sigma }_t{)}^{*}\mathrm{\Lambda }=0$

这等价于

$\underset{ℳ}{\int }(j^1\sigma {)}^{*}{ℒ}_{V^1}\mathrm{\Lambda }=0$

其中$V^1$代表$V$的第一延长，按李导数的定义。 使用嘉当公式，${ℒ}_X=i_{X}d+d{i}_X$， 斯托克斯定理以及$\sigma$的紧支撑，可以证明这等价于

$\underset{ℳ}{\int }(j^1\sigma {)}^{*}{i}_{V^1}d\mathrm{\Lambda }=0$

欧拉－拉格朗日方程

考虑一个$ℰ$的$\pi$-竖直向量场

$V={\beta }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}$

其中${\beta }^{\alpha }={\beta }^{\alpha }(x,u)$。采用切触形式 ${\theta }^j=d{u}^j-u_i^{j}d{x}^i$ on $J^1\pi$，我们可以计算$V$的第一延长。然后得到

$V^1={\beta }^{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}+(\frac{\partial {\beta }^{\alpha }}{\partial x^i}+\frac{\partial {\beta }^{\alpha }}{\partial u^j}{u}_i^j)\frac{\partial }{\partial u_i^{\alpha }}$

其中${\gamma }_i^{\alpha }={\gamma }_i^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_i^{\alpha })$。 据此，可以证明

$i_{V^1}d\mathrm{\Lambda }=[{\beta }^{\alpha }\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha }}+(\frac{\partial {\beta }^{\alpha }}{\partial x^i}+\frac{\partial {\beta }^{\alpha }}{\partial u^j}{u}_i^j)\frac{\partial L}{\partial u_i^{\alpha }}]\star 1$

因而

$(j^1\sigma {)}^{*}{i}_{V^1}d\mathrm{\Lambda }=[({\beta }^{\alpha }\circ \sigma )\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha }}\circ j^1\sigma +(\frac{\partial {\beta }^{\alpha }}{\partial x^i}\circ \sigma +(\frac{\partial {\beta }^{\alpha }}{\partial u^j}\circ \sigma )\frac{\partial {\sigma }^j}{\partial x^i})\frac{\partial L}{\partial u_i^{\alpha }}\circ j^1\sigma ]\star 1$

分部积分并考虑$\sigma$的紧支撑，临界条件变为

$\underset{ℳ}{\int }(j^1\sigma {)}^{*}{i}_{V^1}d\mathrm{\Lambda }$	$=\underset{ℳ}{\int }[\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha }}\circ j^1\sigma -\frac{\partial }{\partial x^i}(\frac{\partial L}{\partial u_i^{\alpha }}\circ j^1\sigma )]({\beta }^{\alpha }\circ \sigma )\star 1$
	$=0$

因为${\beta }^{\alpha }$为任意函数，我们得到

$\frac{\partial L}{\partial u^{\alpha }}\circ j^1\sigma -\frac{\partial }{\partial x^i}(\frac{\partial L}{\partial u_i^{\alpha }}\circ j^1\sigma )=0$

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。

参看

• 经典场论
• 外代数
• 纤维丛
• 射流
• 量子场论

参考

• Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
• De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
• Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
• Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
• Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field TheoriesTemplate:Dead link, May 1995