割圆连比例

割圆连比例是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明，其后经董祐誠、项名达等数学家的工作而趋于完善。。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长。

历史背景

1701年，法国耶稣会传教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）来到中国，他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数

$\pi =3(1+\frac{1}{4\cdot 3!}+\frac{3^2}{4^2\cdot 5!}+\frac{3^2\cdot 5^2}{4^3\cdot 7!}+\cdots )$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

$\mathrm{vers}x=\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$

这些计算Template:Pi的“捷法”只涉及乘法和加减运算，速度远超传统刘徽割圆术涉及的平方根计算，因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密，于是他着手进行这项工作，前后历时30年，完成了书稿《割圜密率捷法》，他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数，不仅推出杜德美的三个无穷级数，还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中，他发现和应用卡塔蘭數。

连比例

连比例图

如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，于是。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

• AB为第一率，以${\varphi }_1$表示
• BC为第二率，以${\varphi }_2$ 表示
• BC为第二率，以${\varphi }_2$ 表示
• CD为第三率，以${\varphi }_3$ 表示
• DE为第四率，以${\varphi }_4$ 表示
• EF为第五率，以${\varphi }_5$ 表示
• FG为第六率，以${\varphi }_6$ 表示
• ……
• 第m率：${\varphi }_m$

于是：

${\varphi }_6=k*{\varphi }_5$

${\varphi }_5=k*{\varphi }_4$

${\varphi }_4=k*{\varphi }_3$

${\varphi }_3=k*{\varphi }_2$

${\varphi }_2=k*{\varphi }_1$

${\varphi }_m=k^{m-1}*{\varphi }_1$

${\varphi }_m$……${\varphi }_6:{\varphi }_5:{\varphi }_4:{\varphi }_3:{\varphi }_2:{\varphi }_1=k^{m-1}:k^{m-2}$……$k^5:k^4:k^3:k^2:k:k^0$

又： $\frac{{\varphi }_m*{\varphi }_n}{{\varphi }_p}=(m+n-p-q)*{\varphi }_q$

明安图割圆连比例

图一 明安图一弦二矢割圆连比例图

图二 明安图发现卡塔兰数 《割圜密率捷法》卷三

由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法

如图BCD为全弧，AB=AC=AD=为半径,令半径=1；BD为通弦，BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此，

$BD=2*x-GH$

作EJ=EF,FK=FJ；延长BE直线至L，并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M，并BF=MF；连LM，显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G，L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI；显然BI=BC。

$AB:BC:CI=1:x:x^2$

作CG之平分线BM，并令BM=BC；连GM、CM；作CO=CM交BM于O;作MP=MO；作NQ=NR，R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;$\therefore$ ∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:

• 连比第一率:AB=AC=AD=AE
• 连比第二率：BE=BC=BF=C
• 连比第三率:EF=CM
• 连比第四率:FJ
• 连比第五率:JK=OP

$AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^2:p^3:p^4$

1:BE=BE:EF；即$EF=B{E}^2$

$1:B{E}^2=x:GH$

于是$GH=x*B{E}^2=x*p^2$,

即$BD=2*x-x*p^2$

因为 风筝形ABEC 与BLIN相似，。

$EF=LC=CM=MG=NG=IN$

$LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI$

$\therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)$ 即 $AB:BL=BL:(CI+JK)$

令$BL=q$

$AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^2$

$JK=p^4$

$CI=y^2$

$CI+JK=q^2=B{L}^2=(2BE{)}^2=(2p{)}^2=4p^2$

由此得$q^2=4p^2$ 或$p=\frac{q}{2}$

又$CI+JK=x^2+p^4=q^2$,代人p值得：

$x^2+\frac{q^4}{16}=q^2$,于是

$x^2=q^2-\frac{q^4}{16}$

上式平方之，两边除以16：

$\frac{(x^2{)}^2}{16}=\frac{(q^2-\frac{q^4}{16}{)}^2}{16}=\sum _{j=0}^2(-1{)}^j*(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{j})*\frac{q^{2*(2+j)}}{16^j}$

即$\frac{x^4}{16}=\frac{q^4}{16}-\frac{q^6}{128}+\frac{q^8}{4096}16$

依次类推

$\frac{x^{2n}}{16^{n-1}}=\sum _{j=0}^n(-1{)}^j*(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})*\frac{q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}$。

将下列二式相加，可以消去$q^4$项：

$x^2=q^2-\frac{q^4}{16}$

$\frac{x^4}{16}=\frac{q^4}{16}-\frac{2*q^6}{16^2}+\frac{q^8}{4096}16$

$x^2+\frac{x^4}{16}=q^2-\frac{q^6}{128}+*\frac{q^8}{4096}$

同理

$x^2+\frac{x^4}{16}+\frac{2*x^6}{16^2}=q^2-\frac{5*q^8}{4096}+\frac{3*q^{10}}{32768}-\frac{q^{12}}{524288}$,

.......

$\begin{array}{cc}& x^2+\frac{x^4}{16}+\frac{2x^6}{16^2}+\frac{5x^8}{16^3}+\frac{14x^{10}}{16^4}+\frac{42x^{12}}{16^5}\\ & +\frac{132x^{14}}{16^6}+\frac{429x^{16}}{16^7}+\frac{1430x^{18}}{16^8}+\frac{4862x^{20}}{16^9}\\ & +\frac{16796x^{22}}{16^{10}}+\frac{58786x^{24}}{16^{11}}+\frac{208012x^{26}}{16^{12}}\\ & +\frac{742900x^{28}}{16^{13}}+\frac{2674440x^{30}}{16^{14}}+\frac{9694845x^{32}}{16^{15}}\\ & +\frac{35357670x^{34}}{16^{16}}+\frac{129644790x^{36}}{16^{17}}\\ & +\frac{477638700x^{38}}{16^{18}}+\frac{1767263190x^{40}}{16^{19}}+\frac{6564120420x^{42}}{16^{20}}\\ & =q^2+\frac{62985}{8796093022208}{q}^{24}\end{array}$

展开式各项分子的系数 1，1，2，5，14，42，132……（见图二 明安图原图最后一行，由右至左读）乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人。

因而得到：

$q^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}$。

其中

$C_n=\frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$为明安图-卡塔兰数。

明安图利用他首创的递推关系：

$C_n=\sum _k(-1{)}^k*(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k+1})*C_{n-k}$

$\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^2=x:px:p^2*x$

$\therefore GH:=p^2*x=(\frac{q}{2}{)}^2*x=\frac{q^2*x}{4}$

代人$BD=2x-GH$

最后得到。

$BD=2x-\frac{x}{4}*q^2$

$y_2=2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n*\frac{x^{2n+1}}{4^{2n-1}}$

三角学意义

在图一中令BAE角=α，BAC角=2α

• x=BC=sinα
• q=BL=2BE=4sin(α/2)
• BD=2sin(2α)

明安图获得的 $BD=2*x-x*B{E}^2$

就是

$\sin (2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n*\frac{(\sin \alpha {)}^{2n+1}}{4^{n-1}}$

$=2*\sin (\alpha )-\frac{2*\sin (\alpha {)}^3}{1+\cos (\alpha )}$

$q^2=B{L}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}$

即$\sin (\frac{\alpha }{2}{)}^2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n*\frac{(sin\alpha {)}^{2n}}{4^{2n}}$

由三分弧通弦率求全弧通弦率

明安图割圆密率三分弧

如图，BE为全弧通弦，BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ与三角形BδD相似。

因此： $AB:BC=BC:CG=CG:GF$,$BC:FG=BD:\delta \gamma$

$2*BD=BE+\delta \alpha$

$2*BD-\delta \gamma =BE+BC$

$\therefore 2*BD-\delta \gamma -BC=BE$

依次类推，最后得：

$y_3=3*a-a^3$。

四分弦

四分弦

$y_4=4*a-\frac{10*a^3}{4}+\frac{14*a^5}{4^3}-\frac{12*a^7}{4^5}$+……

$=4a-10*a^3/4+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(16C_n-2C_{n+1})*\frac{a^{2n+1}}{4^{2n-1}}$。。

几何意义：

$\sin (4*\alpha )=4*sin(\alpha )-10*si{n}^3\alpha$ $+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(16*C_n-2C_{n+1})*\frac{{\sin }^{2n+3}(\alpha )}{4^n}$ 。

五分弦

五分弦

$y_5=5a-5a^3+a^5$

几何意义：

$\sin (5\alpha )=5\sin (\alpha )-20{\sin }^3(\alpha )+16{\sin }^5(\alpha )$。

十分弦

十分弦图

从十分弦开始，明安图不再作几何模型，而是对无穷级数进行代数运算

显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合，即

$y_{10}=y_5(y_2)$

$y_{10}=5*y_2-5*(y_2{)}^3+(y_2{)}^5$;

展开即得：

$y_{10}(a)=10*a-\frac{165*a^3}{4}+\frac{3003*a^5}{4^3}-\frac{21450*a^7}{4^5}$+……。

百分弧

同理，

$y_{100}=y_{10}(y_{10})$,展开后即得：

$y_{100}=100*a-166650*\frac{a^3}{4}+333000030*\frac{a^5}{4*16}-316350028500*\frac{a^7}{4*16^2}+17488840755750*\frac{a^9}{4*16^3}+$……。

千分弧

$y_{1000}=1000*a-1666666500*\frac{a^3}{4}+33333000000300*\frac{a^5}{4*16}-3174492064314285000\frac{a^7}{4*16^2}+$……。

万分弦

$y_{10000}=10000*a-\frac{166666665000*a^3}{4}+\frac{33333330000000300*a^5}{4^3}+$…………。

弧背求通弦

y100,y1000 and y10000 可表为:

$y100=100a-\frac{(100a{)}^3}{24.002400240024002400}+\frac{(100a{)}^5}{24.024021859697730358*80}+$..........

$y1000:=1000a-\frac{(1000a{)}^3}{24.000024000024000024}+\frac{(1000a{)}^5}{24.000240002184019680*80}+$..............

$y10000:=10000a-\frac{(10000a{)}^3}{24.000000240000002400}+\frac{(10000a{)}^5}{24.000002400000218400*80}+$..................

分弦数越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近 24 、 24*80 ；当分弦数n趋向无穷大， n*a, 就变成 弧背，于是

令c 为弦，a 为弧背，

$c=a-\frac{a^3}{4*3!}+\frac{a^5}{4^2*5!}-\frac{a^7}{4^3*7!}+$.....

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}$

通弦求弧背

明安图求得上述无穷级数的反逆，将弧表示为弦的无穷级数:

$a:=c+\frac{c^3}{24}+\frac{3*c^5}{640}+\frac{5*c^7}{7168}+$............

正弦的无穷级数展开

$\because sin(\alpha )=\frac{c}{2}$,

令 r=1

$\therefore sin\alpha =a-\frac{a^3}{3}+\frac{a^5}{5}-\frac{a^7}{7}+\frac{a^9}{9}+$…………

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}*\frac{a^{2n-1}}{2n-1}$。

参考文献

• 明安图原著 罗见今译注 《割圆密率捷法译注》内蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
• Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
• 李俨 《中算史论丛》 第三集 《明清算家的割圆术研究》《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷