割圜密率捷法

割圜密率捷法卷一

割圜密率捷法,清代数学家明安图积三十年之功写成；后子明新、弟子陳際新根据明安图遗稿整理、推究于乾隆三十九年（1774年）出版，时明安图已去世十年。

《割圜密率捷法》根据连比例三角形的性质，详细推导圆周率的九个无穷级数。中算史家李儼说“数与形的结合，堪与笛卡尔所创立的解析几何媲美”。

内容

卷一 步法

• 圆径求周

$2*\pi *r=\frac{3*2*r}{4^0*1!}+\frac{1^2*3*2*r}{4^1*3!}+\frac{1^2*3^2*3*2*r}{4^3*5!}+\frac{1^2*3^2*5^2*7^2*9^2*11^2*13^2*15^2*17^2*19^2*3*2*r}{4^{1}0*21!}$+…………

可以改写成 $\frac{\pi }{3}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((2n-1)!!{)}^2}{4^n*(2n+1)!}$。

此展开式被清代数学家称为“杜氏第一术”，出自牛顿。

• 弧背求正弦

杜氏九术之二，出自格列高里:.

弧背为a,半径为r,通弦为c

$\frac{c}{2}=rsin(\alpha )=a-\frac{a^3}{3!*r^2}-\frac{a^5}{5!*r^4}+\frac{a^7}{7!*r^6}+$……

• 弧背求正矢

“杜氏九术”之三，出自格列高里

$b=rvers\alpha =\frac{a^2}{2!*r}-\frac{a^4}{4!*r^3}+\frac{a^6}{6!*r^5}+$…………

• 弧背求通弦

$2*\pi *r=2*a-\frac{(2a{)}^3}{4*3!*r^2}+\frac{(2*a{)}^5}{4^2*5!*r^4}+\frac{(2*a{)}^7}{4^3*7!*r^6}$+……

• 弧背求矢

$h=\frac{(2*a{)}^2}{4*2!*r}-\frac{(2*a{)}^4}{4^2*4!*r}+\frac{(2*a{)}^6}{4^3*6!*r}$+…………

• 通弦求弧背

出自明安图：

$2a=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{[(2n-1)!!{]}^2*c^{2n+1}}{4^n*(2n+1)!*r^{2n}}$。

• 正弦求弧背

出自明安图

$a=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{[(2n-1)!!{]}^2*(r*sin\alpha {)}^{2n+1}}{(2n+1)!*r^{2n}}$。

• 正矢求弧背

$a^2=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2*(2b{)}^{n+1}}{(2n+2)!*r^{n-1}}$。

• 矢求弧背

$(2a{)}^2=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2*(n!{)}^2*(8*r*vers\alpha {)}^{n+1}}{4^n*(2n+2)!*r^{n-1}}$。

• 余弧求正弦正矢

$rvers(90-\alpha )=rcvers(\alpha )$

$r-rcovers(\alpha )=rsin(\alpha )$

$rsin(90-\alpha )=rcos(\alpha )$

$r-rcos(\alpha )=rvers(\alpha )$

• 余矢余弦求本弧

  借弧背求正弦余弦

  借正弦余弦求弧背

卷二 用法

• 角度求八线
• 直线三角形边角相求
• 弧线三角形边角相求

卷三 法解上

分弧通弦率数求全弧通弦率图解

明安图镇此书中最先运用卡塔兰数

弧背求通弦图解

• 分弧通弦率数求全弧通弦率法解
• 弧背求通弦法解
• 通弦求弧背法解
• 弧背正弦相求法解

卷四 法解下

• 分弧正矢率数求全弧正矢率数法解
• 弧背求正矢法解
• 正矢求弧背法解
• 弧矢相求法解
• 弧矢弦正余互用法解
• 借弧背求正弦余弦法解
• 借正弦余弦求弧背法解

参考文献

• 明安图著 《割圜密率捷法》卷一、二、三
• 明安图原著 罗见今译注 《割圜密率捷法》释注 内蒙古教育出版社 1998
• Yoshio Mikami Development of Mathematics in China and Japan, Leipzig, 1912
• Jami C, Etude du Livre "Methods Rapides des Trigonometrie et du Rapport Precis du Cercle" de Ming Antu,1985.