刘维尔–阿诺德定理

动力系统理论中，刘维尔–阿诺德定理指出，若在具有n自由度的哈密顿力学系统中，存在n个泊松交换的独立第一运动积分，且能级集是紧的，则就存在到作用量-角度坐标的正则变换，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。Template:Rp

历史

定理的原始形式是刘维尔于1853年针对${ℝ}^{2n}$上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。

陈述

初步定义

令$(M^{2n},\omega )$是$2n$维辛流形，具有辛结构$\omega$。

$M^{2n}$上的可积系统是$M^{2n}$上的n个函数组成的集合，记作$F=(F_1,\cdots ,F_n)$，满足

• （一般）线性独立：稠密集上$d{F}_1\wedge \cdots \wedge d{F}_n\ne 0$
• 相互泊松交换：泊松括号$(F_i,F_j)$对任意一对$i,j$都为0

泊松括号是每个$F_i$对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说，若$X_H$是对应于光滑函数$H:M^{2n}\to ℝ$的哈密顿向量场，则对两光滑函数$F,G$，泊松括号是$(F,G)=[X_F,X_G]$。

若$d{f}_1\wedge \cdots \wedge d{f}_n(p)\ne 0$，则称点p是正则点（regular point）。

可积系统定义了函数$F:M^{2n}\to {ℝ}^n$。$L_{𝐜}$表示函数$F_i$的水平集 $$L_{𝐜}=\{x:F_i(x)=c_i\},$$ 或记作$L_{𝐜}=F^{-1}(𝐜)$。

若给$M^{2n}$附加一个区分函数H的结构，则当H可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统$F=(F_1=H,F_2,\cdots ,F_n)$），哈密顿系统$(M^{2n},\omega ,H)$是可积的。

定理

若$(M^{2n},\omega ,F)$是可积哈密顿系统、p是正则点，则定理描述了正则点的像$c=F(p)$的水平集$L_c$：

• $L_c$是光滑流形，在由$H=F_1$引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。
• 若$L_c$更紧且连通，则就微分同胚于N-环面$T^n$。
• $L_c$上存在（局部）坐标$({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n,{\omega }_1,\cdots ,{\omega }_n)$，使得${\omega }_i$在水平集上为常，而${\dot{\theta }}_i:=(H,{\theta }_i)={\omega }_i$。这些坐标称作作用量-角度坐标。

刘维尔可积系统例子

可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。

一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是${ℝ}^{2n}$时，其坐标通常写作$(q_1,\cdots ,q_n,p_1,\cdots ,p_n)$，规范辛形式是$\omega =\sum _{i}d{q}_i\wedge d{p}_i$。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。

• 哈密顿谐振子：$({ℝ}^{2n},\omega ,H)$，其中$H(𝐪,𝐩)=\sum _i(\frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_i^2{q}_i^2)$。定义$H_i=\frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_i^2{q}_i^2$，可积系统是$(H,H_1,\cdots ,H_{n-1})$。

• 连心力系统$({ℝ}^6,\omega ,H)$，其中$H(𝐪,𝐩)=\frac{{𝐩}^2}{2m}-U({𝐪}^2)$，U是某势函数。定义角动量$𝐋=𝐩\times 𝐪$，可积系统是$(H,{𝐋}^2,L_3)$。

• 可积陀螺：Template:Le是刘维尔可积的。

另见

• 弗罗贝尼乌斯定理
• 可积系统