切比雪夫偏差

直至$n\le 30000$為止的$\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)$的值。

在數論上，切比雪夫偏差（Chebyshev's bias）指的是說在多數時候，在給定的界限下，除4餘3的質數個數，會多於除4餘1的質數的現象。這現象最早由帕夫努季·切比雪夫於1853年觀察到。

敘述

設$\pi (x;n,m)$為不大於Template:Math且形如$nk+m$的質數的數量，那麼根據質數定理在算術數列上的推廣，有以下關係：

$\pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim \frac{1}{2}\frac{x}{\log x}.$

也就是說，大約一半的質數除4餘1，另外一半則是除4餘3的。因此一個合理的猜測是$\pi (x;4,1)>\pi (x;4,3)$跟$\pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)$的發生率大約相等；然而這點並不受數據支持，實際上，$\pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)$遠遠更常發生。像例如說對於所有小於26833且不等於5、17、41及461的Template:Math而言，$\pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)$，而在Template:Math等於5、17、41及461的狀況下，則有$\pi (x;4,3)=\pi (x;4,1)$；而第一個使得$\pi (x;4,1)>\pi (x;4,3)$的Template:Math是26861，也就是說，對於任意的Template:Math而言，$\pi (x;4,3)\ge \pi (x;4,1)$。

更一般地，若$0<a,b<n$是整數，其彼此的最大公因數有$\gcd (a,n)=\gcd (b,n)=1$這樣的關係，且Template:Math為模Template:Math的二次剩餘Template:Math為模Template:Math的二次非剩餘，那麼$\pi (x;n,b)>\pi (x;n,a)$是更常發生的。這點只有在假定強形式的黎曼猜想成立的狀況下得證。

Template:Link-en和圖蘭兩氏曾提出更強的猜想，認為使得$\pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)$成立的Template:Math的密度為一，也就是說$\pi (x;4,3)>\pi (x;4,1)$對幾乎所有的Template:Math成立；然而這兩氏提出的猜想已被否證；而實際上使之成立的數的對數密度大約為Template:Math。

推廣

相關的問題可轉化成對於$k=-4$而言，使得$\sum _{q\le p,q\text{is prime}}\left(\frac{k}{q}\right)>0$成立的最小質數Template:Math，其中$\left(\frac{m}{n}\right)$是克羅內克符號；然而對於任意給定的不為零的Template:Math（不僅是$k=-4$），也能找使上式成立的最小質數Template:Math。從質數定理可知，對於任意非零的整數Template:Math，有無限多個質數Template:Math滿足此條件。

對於正整數$k=1,2,3,\cdots$而言，最小質數Template:Math如下所示：

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... （Template:Oeis是Template:Oeis對於$k=1,5,8,12,13,17,21,24,28,29,33,37,40,41,44,53,56,57,60,61,\cdots$的子序列）

對於負整數$k=1,2,3,\cdots$而言，最小質數Template:Math如下所示：

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... （Template:Oeis是Template:Oeis對於$k=-3,-4,-7,-8,-11,-15,-19,-20,-23,-24,-31,-35,-39,-40,-43,-47,-51,-52,-55,-56,-59,\cdots$的子序列）

對於任意非平方整數Template:Math而言，多數時候，在給定的界限下，使得$\left(\frac{k}{p}\right)=-1$的質數Template:Math會多於使得$\left(\frac{k}{p}\right)=1$質數Template:Math。

延伸至高次剩餘

設Template:Math和Template:Math是兩個彼此互質的正整數，那麼可定義以下函數：

$$f(m,n)=\sum _{p\text{ is prime, }p\mid \phi (n),x^p\equiv m(\mathrm{mod}n)\text{ has a solution }}\left(\frac{1}{p}\right)$$

其中$\phi$是歐拉函數。

這函數的一些數值如次：$f(1,5)=f(4,5)=1/2,f(2,5)=f(3,5)=0,f(1,6)=1/2,f(5,6)=0,f(1,7)=5/6,f(2,7)=f(4,7)=1/2,f(3,7)=f(5,7)=0,f(6,7)=1/3,f(1,8)=1/2,f(3,8)=f(5,8)=f(7,8)=0,f(1,9)=5/6,f(2,9)=f(5,9)=0,f(4,9)=f(7,9)=1/2,f(8,9)=1/3$。

目前有猜想認為，若若$0<a,b<n$是整數，其彼此的最大公因數有$\gcd (a,n)=\gcd (b,n)=1$這樣的關係，且同時$f(a,n)>f(b,n)$成立，那麼$\pi (x;n,b)>\pi (x;n,a)$是更常發生的。

參考資料

• P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
• Template:Cite journal
• J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159–171.
• S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory, I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299–314.
• Template:Cite journal

外部連結

• Template:MathWorld
• Template:OEIS─給出除4餘3的質數個數和除4餘1的質數相對個數彼此交換的點的列表
• Template:OEIS─給出除3餘1的質數個數和除3餘2的質數相對個數彼此交換的點的列表