击中时

布朗运动过程的三个路径，接触到上限则结束

击中时也称为命中时、首中时，是数学中随机过程研究裡出现的一个概念，表示一个随机过程首次接触到状态空间的某个子集的时间。在特定的例子中，也会被称为离时（脱离时间）或回时（首次回归时间）。

定义

设$T$是一个有序的指标集，比如说是自然数的集合$\mathbb{N}$、非负实数集${ℝ}^{+}=[0,+\mathrm{\infty })$或者是这两者的子集。$T$中的一个元素$t\in T$可以被认为是一种记录时间的方式（离散或连续型）。给定一个概率空间$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$，一个可测状态空间$S$，设$X:\mathrm{\Omega }\times T\to S={\left(X_t\right)}_{t\in T}$为一个随机过程，并设$A$为$S$中的一个可测子集。那么，随机过程${\left(X_t\right)}_{t\in T}$首次接触子集$A$的击中时定义为以下的随机变量Template:R：

${\tau }_A\mathrm{\Omega }⟶\bar{T}$

${\tau }_A(\omega ):=\inf \{t\in T|X_t(\omega )\in A\}.$

同样，可以定义${\left(X_t\right)}_{t\in T}$首次离开子集$A$的离时：

${ϵ}_A(\omega ):=\inf \{t\in T|X_t(\omega )\notin A\}=\inf \{t\in T|X_t(\omega )\in A^c\}={\tau }_{A^c}.$

可以看出离时实际上也是击中时的一种，表示首次接触到要研究的子集的补集的时间。很多时候，离时也会记为${\tau }_A$，和击中时一样。

另外一种击中时是 ${\left(X_t\right)}_{t\in T}$后首次回到出发点$\{X_0(\omega )\}$的击中时，称为回时或首次回归时间：

${\tau }_0(\omega ):=\inf \{t\in T|X_t(\omega )=X_0(\omega )\}.$

例子

• 设${\left(W_t\right)}_{t\in {ℝ}^{+}}$为$ℝ$上标准的布朗运动过程，则对于任意（实数的）波莱尔可测子集$A$，都可以定义首次接触$A$的击中时${\tau }_A^W$，并且可以证明这样定义的击中时${\tau }_A^W$都是停时。

• 如果定义标准布朗运动${\left(W_t\right)}_{t\in {ℝ}^{+}}$首次离开区间$A_r=(-r,r)$的离时为${ϵ}_r^W={\tau }_{A_r^c}^W$，那么这个离时也是停时，它的数学期望是：$𝔼({ϵ}_r^W)=r^2$，方差是$\mathrm{Var}({ϵ}_r^W)=\frac{2}{3}{r}^4.$

首发定理

对于给定的概率空间，随机过程首次进入状态空间中的一个可测子集$F$的击中时也称为$F$的首发时间（Template:Lang）。首发定理说明，如果随机过程是循序可测的，那么可测子集的首发时间一定是停时。循序可测过程包括所有的左连续适应过程和右连续适应过程。首发定理的证明用到了解析集的性质。首发定理需要概率空间是完全概率空间。

首发定理的逆定理指出，所有定义在某个实数时间轴的滤波上的停时，都能表示为某个状态空间子集的击中时。特别地，存在一个适应的不增随机过程，其路径几乎总是左极限右连续，并且取值为0或1，使得子集$\{0\}$的击中时就是对应的停时。

参见

• 停时

参考来源

• Template:Cite journal

• Template:Cite book