凯泽窗

凯泽窗

凯泽窗（Kaiser window）是由贝尔实验室的James Kaiser所提出的。凯泽窗是一個單參數的窗函数群，用在数字信号处理中，其定義如下：

$w[n]=\{\begin{array}{cc}\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1-{(\frac{2n}{N-1}-1)}^2}\right)}{I_0(\pi \alpha )},& 0\le n\le N-1\\ \\ 0& \text{otherwise},\end{array}$

其中：

• N 為序列的長度
• I₀ 是零階的第一類修正貝索函數
• α 是任意非負實數，用來調整凯泽窗的外形。在頻域上可以在主瓣（main-lobe）寬度及旁瓣（side lobe）大小中取拾，這是窗函數設計的重要考量因素。

若N為奇數，窗函數最大值會在 $w[(N-1)/2]=1,$ 。若N為偶數，窗函數最大值會在 $w[N/2-1]=w[N/2]<1.$。

傅立葉變換

若將上述離散數列視為是連續函數，並進行傅立葉變換：

$\underset{w_0(t)}{\underbrace{\frac{I_0\left(\pi \alpha \sqrt{1-{\left(\frac{2t}{(N-1)T}\right)}^2}\right)}{I_0(\pi \alpha )}}}\stackrel{ℱ}{⟺}\underset{W_0(f)}{\underbrace{\frac{(N-1)T\cdot \sinh \left(\pi \sqrt{{\alpha }^2-{((N-1)T\cdot f)}^2}\right)}{I_0(\pi \alpha )\cdot \pi \sqrt{{\alpha }^2-{((N-1)T\cdot f)}^2}}}}.$

兩個不同α參數凯泽窗的傅立葉變換

w₀(t)的最大值為w₀(0) = 1.  上述的w[n]數列為以下函收的取様：

$w_0(t-\frac{(N-1)T}{2})\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t-(N-1)T/2}{NT}\right),$   ，在間隔T的時間進行取樣。

而且rect()為矩形函数. W₀(f)主瓣後的第一個零點在：

$f=\frac{\sqrt{1+{\alpha }^2}}{NT},$     

調整α可以在主瓣的寬度及旁瓣大小中進行取捨。若α增加，W₀(f)主瓣的寬度增加，而旁瓣的大小減小，如右圖所示。α = 0會對應長方形的窗函數。若α增加，時域及頻率下凯泽窗的形狀都會接近高斯曲線。凯泽窗在頻率0附近的集中程度是幾乎最佳化的（Oppenheim et al., 1999）。

參考資料

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• Kaiser, J. F. (1966). Digital Filters. In Kuo, F. F. and Kaiser, J. F. (Eds.), System Analysis by Digital Computer, chap. 7. New York, Wiley.
• Craig Sapp, Kaiser-Bessel Derived Window Examples and C-language Implementation, Music 422 / EE 367C: Perceptual Audio Coding (Stanford University course page, 2001).