内测度

在测度论中，内测度是定义在某个给定的集合的幂集上的一个函数，满足一些限制。内测度可以直观地理解为一个集合大小的下界。

定义

内测度是一个对某个集合Template:Mvar的所有子集有定义的一个函数

$\phi :2^X\to [0,\mathrm{\infty }],$

满足下列条件:

• 空集: 空集的内测度为 0。

$\phi (\varnothing )=0$

• 超加性：对两个交集为空的集合Template:Mvar和Template:Mvar，有

$\phi (A\cup B)\ge \phi (A)+\phi (B).$

• 集合降链的极限：对一个集合序列$A_j$，若对于所有的Template:Mvar满足$A_j\supseteq A_{j+1}$，且$\phi (A_1)<\mathrm{\infty }$，则

$\phi \left(\bigcap _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (A_j)$

• 若集合Template:Mvar满足$\phi (A)=\mathrm{\infty }$，则对所有正数Template:Mvar, 存在Template:Mvar的一个子集Template:Mvar，使得

$c\le \phi (B)<\mathrm{\infty }$

参考

• Halmos, Paul R., Measure Theory, D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, pp. 58.
• A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, translated by Richard A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover Publications, New York, 1970, ISBN 0-486-61226-0 (Ch. 7)