內自同構

在抽象代數的群論中，內自同構（Template:Lang-en）是群的一種自同構。群內部的元素的共軛作用可以定義一個自同構，因而得名「內」自同構。

定義

設 $g$ 為群 $G$ 的一個元素，則 $g$ 對應的內自同構可以由如下的方程給出

${\iota }_g:G\to G$

$x\mapsto gx{g}^{-1}$

該方程是 $G$ 的一個自同態，因為對任意 $x_1,x_2\in G$ ，有

${\iota }_g(x_1{x}_2)=g^{-1}{x}_1{x}_{2}g=g^{-1}{x}_{1}g{g}^{-1}{x}_{2}g=(g^{-1}{x}_{1}g)(g^{-1}{x}_{2}g)={\iota }_g(x_1){\iota }_g(x_2)$

所有由 $G$ 的元素的共軛作用給出的自同構稱為內自同構。

性質

若g在G的中心Z(G)內，則${\iota }_g$是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言，${\iota }_g$的不動點集，正是g的中心化子C_G(g)。

內自同構${\iota }_g$的逆元是${\iota }_g^{-1}={\iota }_{g^{-1}}$。兩個內自同構${\iota }_g,{\iota }_h$的複合是${\iota }_g\circ {\iota }_h={\iota }_{gh}$

由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

內自同構群

群 $G$ 的內自同構組成內自同構群 $\text{Inn}(G)$ 。內自同構群 $\text{Inn}(G)$ 與群 $G$ 對其中心 $Z(G)$ 的商群 $G/Z(G)$ 同構。

內自同構群 $\text{Inn}(G)$ 是 $G$ 的自同構群 $\text{Out}(G)$ 中的正規子群，其對應商群記為 $\text{Out}(G)=\text{Aut}(G)/\text{Inn}(G)$ ，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

$1\to \mathrm{Z}(G)\to G\to \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G)\to 1$

$1\to \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{n}(G)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)\to \mathrm{O}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)\to 1$

正規子群

群 $G$ 的子群 $H$ 是 $G$ 的正規子群若 $H$ 在 $G$ 的任一內自同構的作用下不變。這時 $G$ 的內自同構限制到 $H$ 上時是 $H$ 的一個自同構（未必是 $H$ 的內自同構），因而有群同態$G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$。這個群同態的核是 $H$ 在 $G$ 中的中心化子 $C_G(H)$ 。

對一般的子群H，可取其在G中的正規化子N_G(H)，則H是N_G(H)的正規子群，故有群同態${\mathrm{N}}_G(H)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$，其核是C_G(H)。因此N_G(H)/C_G(H)可以嵌入到Aut(H)內，即

${\mathrm{N}}_G(H)/{\mathrm{C}}_G(H)\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(H)$

是單射。

參考

• Template:Citation (chapter 7).