代数内部

作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部(Template:Lang-en)或径向核(Template:Lang-en)是对内部概念的细化。 它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。代数内部的元素通常被称为内点(Template:Lang-en)。 

正式地，如果$X$是线性空间，则$A\subseteq X$的代数内部是

$\mathrm{core}(A):=\{x_0\in A:\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }{t}_x>0,\mathrm{\forall }t\in [0,t_x],x_0+tx\in A\}$。

一般来说，$\mathrm{core}(A)\ne \mathrm{core}(\mathrm{core}(A))$，但如果$A$是一个凸集，则有$\mathrm{core}(A)=\mathrm{core}(\mathrm{core}(A))$。假设$A$是凸集，则如果$x_0\in \mathrm{core}(A),y\in A,0<\lambda \le 1$，就有$\lambda x_0+(1-\lambda )y\in \mathrm{core}(A)$。

例子

如果$A=\{x\in {ℝ}^2:x_2\ge x_1^2\text{ or }{x}_2\le 0\}\subseteq {ℝ}^2$，则有$0\in \mathrm{core}(A)$，但$0\in ̸\mathrm{int}(A)$且$0\in ̸\mathrm{core}(\mathrm{core}(A))$。

性质

令$A,B\subset X$则：

• $A$是吸收的当且仅当$0\in \mathrm{core}(A)$
• $A+\mathrm{core}B\subset \mathrm{core}(A+B)$
• $A+\mathrm{core}B=\mathrm{core}(A+B)$如果$B=\mathrm{core}B$

和内部的关系

令$X$是拓扑向量空间，$\mathrm{int}$表示内部算子，且$A\subset X$，则有：

• $\mathrm{int}A\subseteq \mathrm{core}A$
• 如果$A$是非空凸集且$X$ 有限维的，则有$\mathrm{int}A=\mathrm{core}A$
• 如果$A$是有非空内部的凸集，则有$\mathrm{int}A=\mathrm{core}A$
• 如果$A$是闭凸集且$X$是完备度量空间，则有$\mathrm{int}A=\mathrm{core}A$

另请参阅

• 内部
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• 边界点