亨泽尔引理

亨泽尔引理（Template:Lang-en）是数学中模算术的一個结论。亨泽尔引理说明，如果一个模 Template:Mvar（Template:Mvar是给定的质数）的多项式方程有一个单根，则可以通过这个根求出该方程在模Template:Mvar的更高次方时的根。在完备交换环（包括p进数）中，亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单，亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容

設 $f (x)$ 為整係數多項式， $k$ 為不少於2的整數， $p$ 為質數。若整數 $r$ 是下面同餘式的根：

f (r) \equiv 0 (\mod p^{k - 1}) .

對於

f (r + t p^{k - 1}) \equiv 0 (\mod p^{k})

（I）

，則有：

t f^{'} (r) \equiv - (f (r) / p^{k - 1}) (\mod p) .

亨澤爾引理可用泰勒公式證明。

f (r + t p^{k - 1}) = f (r) + t p^{k - 1} f^{'} (r) + \frac{1}{2} t^{2} p^{2 (k - 1)} f^{″} (r) + \frac{1}{6} t^{3} p^{3 (k - 1)} f^{‴} (r) + . . .

因此可見，由第三項開始，都必能被 $p^{k}$ 整除。因此：

f (r + t p^{k - 1}) \equiv f (r) + t p^{k - 1} f^{'} (r) (\mod p^{k})

若 $K$ 為完備局域。設 $𝒪_{K}$ 為 $K$ 的整數環，設 $f (x)$ 為係數在 $𝒪_{K}$ 的多項式，若存在 $α_{0} \in 𝒪_{K}$ 使得

| f (α_{0}) | < | f^{'} (α_{0}) |^{2}

則 $f (x)$ 有根 $α \in K$ 。

且：

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。