亥姆霍茲線圈

一座裝配了亥姆霍茲線圈的物理儀器。

亥姆霍茲線圈示意圖。

亥姆霍茲線圈（Template:Lang）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。

簡介

亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為$R$的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為$h/2$與$-h/2$。每一個導體線圈載有同向電流$I$。

設定$h=R$可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使${\partial }^{2}B/\partial z^2=0$，也意味著領先的非零微分項目是${\partial }^{4}B/\partial z^4$，稍後會對這論點做更詳細解釋。但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。

在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。

數學描述

在亥姆霍茲線圈的二等分面的磁場線。注意到在兩個線圈之間的磁場近似均勻（在這電腦繪圖裏，線圈的中心軸是縱向的）。

沿著線圈中心軸（z-軸）的磁場。與兩個線圈同距離的中心位置的z-坐標為0。

等值線圖顯示出在亥姆霍茲線圈的磁場的數值大小。在中央的章魚區域內，磁場數值與中心位置的磁場數值$B_0$相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為$0.5B_0$、$0.8B_0$、$0.9B_0$、$0.95B_0$、$0.99B_0$。

關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為$z$的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離$h$，可以使得O點成為拐點，則可以保證$z^2$級項目為零，因此領先不均勻項目是$z^4$級項目。

在中心位置O點，磁場為

$B={\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}\frac{{\mu }_{0}nI}{R}$；

其中，${\mu }_0$是磁常數。

推導

採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）

$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$；

其中，$B$是磁場數值大小，${\mu }_0$是磁常數，$I$是電流，$R$是線圈半徑，$z$是檢驗位置的z-坐標。

對於$n$匝線圈，磁場為

$B=\frac{{\mu }_{0}nI{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為$R/2$，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為

$B=\frac{2{\mu }_{0}nI{R}^2}{2(R^2+(R/2{)}^2{)}^{3/2}}={\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}\frac{{\mu }_{0}nI}{R}$。

進階推導

更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：

$𝐁=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2}\{{[R^2+(z-h/2{)}^2]}^{-3/2}+{[R^2+(z+h/2{)}^2]}^{-3/2}\}\widehat{𝐳}$。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成$z$的冪級數：

$𝐁=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{d^3}[1+\frac{3(h^2-R^2)z^2}{2d^4}+\frac{15(h^4-6h^2{R}^2+2R^4)z^4}{16d^8}+\dots ]\widehat{𝐳}$；

其中，$d=\sqrt{R^2+h^2/4}$。

現在設定$h=R$，則$z^2$項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：

$𝐁={\left(\frac{4}{5}\right)}^{3/2}\frac{{\mu }_{0}I}{R}[1-\frac{144}{125}{\left(\frac{z}{R}\right)}^4+\dots ]\widehat{𝐳}$。

磁場不均勻率與$z$的關係式為

$\frac{\mathrm{\Delta }{B}_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}{\left(\frac{z}{R}\right)}^4$。

在$z=\pm R/2$，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為

$\frac{\mathrm{\Delta }{B}_z}{B_z}\approx -\frac{144}{125}{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\approx -7\mathrm{\%}$。

參閱

• 麦克斯韦线圈（Template:Lang）
• Template:Le
• 螺線管
• 磁振造影

外部連結

• Helmholtz-Coil Fields Template:Wayback by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
• 加州大學洛杉磯分校的高中電漿實驗室網頁：單獨載流迴圈的磁場精確解 Template:Wayback。