五邊形數定理

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數$\varphi (q)$展開式的特性 。歐拉函數的展開式如下：

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^n)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{x}^{\frac{k(3k-1)}{2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{x}^{\frac{k(3k\pm 1)}{2}}$

亦即

$(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots =1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots .$

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。

若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

和分割函數的關係

歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

$\frac{1}{\varphi (x)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)x^k$

其中$p(k)$為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理，可以得到

$(1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots )(1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+\cdots )=1$

考慮$x^n$項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得

$p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+\cdots =0$

因此可得到分割函數p(n)的递归式

$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots$

以n=10為例

$p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42$

外部連結

• Euler and the pentagonal number theorem
• On Euler's Pentagonal TheoremTemplate:Wayback at MathPages
• Number Theorem.Template:Dead link at MathWorld
• The Pentagonal Number Theorem and All ThatTemplate:Wayback from Dick Koch.