互协方差

在统计学中，互协方差（Template:Lang-en）表示两个随机向量 X 与 Y 之间的协方差 cov(X, Y)，以区别于随机向量 X 的“协方差”即 X 的各个标量元素之间的协方差矩阵。

在信号处理领域，互协方差是两个信号 (信息论)之间相似性的度量，它也称为“互相关”。互协方差通常用于通过与已知信号做比较从来寻找未知信号的特点。它是信号之间相对于时间的函数，有时也称为滑动点积，在模式识别与密码分析学中都有应用。

离散函数 f_i 与 g_i 的互协方差定义为

(f ⋆ g)_{i} \equiv \sum_{j} f_{j}^{*} g_{i + j}

其中累计和是在一个合适的整数 j 上进行计算，星号表示是共轭复数。连续函数 f (x) 与 g _i 的互协方差定义为

(f ⋆ g) (x) \equiv \int f^{*} (t) g (x + t) d t

其中积分在合适的 t 上进行。互协方差本质上类似于两个函数的卷积。

特性

因为

f (t) ⋆ g (t) = f^{*} (- t) * g (t)

如果 f 或者 g 是偶函数，互协方差与卷积发生关系，

(f ⋆ g) = f * g

并且

(f ⋆ g) ⋆ (f ⋆ g) = (f ⋆ f) ⋆ (g ⋆ g)