九点圆定理

九點圓

九点圆定理指出：在平面中，對所有三角形，其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點，必然共圆，这个圆被称为九點圓，又称歐拉圓、費爾巴哈圓。

九點圓具有以下性質：

• 九點圓的半徑是外接圓的一半。
• 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。
• 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
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歷史

1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬（Shigetaka Ooue）分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

九點圓证明

如圖：$D$、$E$、$F$為三邊的中點，$G$、$H$、$I$為垂足，$J$、$K$、$L$為和頂點到垂心的三條線段的中點。

• 容易得出$\mathrm{△}ABS\sim \mathrm{△}AFJ$、$\mathrm{△}CBS\sim \mathrm{△}CDL$（$SAS$相似）

• 因此$\overline{FJ}//\overline{BH}//\overline{DL}$

• 同樣可得出$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}FBD$、$\mathrm{△}ASC\sim \mathrm{△}JSL$（$SAS$相似）

• 因此$\overline{FD}//\overline{AC}//\overline{JL}$

• 又$\overline{BH}\perp \overline{AC}$，可得出四邊形$DFJL$是矩形（四點共圓）

• 同理可證$FKLE$也是矩形（$DKFJEL$共圓）

• $\mathrm{\angle }JLD=\mathrm{\angle }JGD=90^{\circ }$，因此可知$G$也在圓上（圓周角相等）

• 同理可證$H$、$I$兩點也在圓上（九點共圓）

性質證明

九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

• 在直角坐標系中，已知圓的方程為$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$，其中$r$為圓的半徑，$(x_0,y_0)$為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點$(x_S,y_S)$的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為：

${(x-\frac{x_0+x_S}{2})}^2+{(y-\frac{y_0+y_S}{2})}^2={\left(\frac{r}{2}\right)}^2$

• 設$r$為外接圓的半徑、$(x_0,y_0)$為外接圓的圓心坐標、點$(x_S,y_S)$為垂心坐標。
• 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
• 同時還可以得出下面的性質：

• 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為

$(\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1^2+y_1^2-2(x_2{x}_3+y_2{y}_3)& y_1& 1\\ x_2^2+y_2^2-2(x_3{x}_1+y_3{y}_1)& y_2& 1\\ x_3^2+y_3^2-2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)& y_3& 1\end{array}\right|}{4\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|},\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_1^2+y_1^2-2(x_2{x}_3+y_2{y}_3)& 1\\ x_2& x_2^2+y_2^2-2(x_3{x}_1+y_3{y}_1)& 1\\ x_3& x_3^2+y_3^2-2(x_1{x}_2+y_1{y}_2)& 1\end{array}\right|}{4\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|})$ Template:Clear

• 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。

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• 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。

其他

• 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
• 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
• 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
• 三線坐標中，九點圓的座標為$\cos (B-C):\cos (C-A):\cos (A-B)$
• 三線坐標中，費爾巴哈點的座標為$1-\cos (B-C):1-\cos (C-A):1-\cos (A-B)$

參見條目

• 萊昂哈德·歐拉
• 卡尔·威廉·費爾巴哈

參考資料

• 幾何明珠 ISBN 957-603-197-4
• [1]
• 幾何寶庫Template:Wayback
• [2]Template:Wayback
• Feuerbach's Theorem: a ProofTemplate:Wayback