歐拉線

欧拉线

在平面几何中，欧拉线，或稱尤拉線（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉，也稱尤拉，证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

证明

如图$H,G,O$分别是$\mathrm{△}ABC$的垂心，重心，外心。

設$D$為直線$BO$和$\mathrm{△}ABC$外接圆的交點，並连结$AH,AD,CD,CH$。

（1） $\because BD$是直徑，$\therefore CD\perp BC$且$AD\perp AB$。

又$H$是垂心，$\therefore AH\perp BC$且$CH\perp AB$。

$\therefore CD//AH$，$AD//CH$。

$ADCH$为平行四边形。

->$AH=DC$

又$O,M$分别是$BD,CB$的中点，

$\therefore DC=2OM$， $AH=2OM$

（2） 作$BC$边上的中线$AM,$连结$OM,OH$

设$OH$交$AM$于点$G^{\prime }$

$\because OM\perp BC,\mathrm{△}AH{G}^{\prime }\sim \mathrm{△}MO{G}^{\prime },AH=DC=2OM$，

$\therefore A{G}^{\prime }=2G^{\prime }M$，

$\therefore G^{\prime }$即$\mathrm{△}ABC$的重心$G$

$\therefore \mathrm{△}ABC$的垂心$H,$重心$G,$外心$O$三点共线$,$直线$HGO$即欧拉线

推论

九点圆的圆心也在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点

如图，H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点I _i，三高的垂足H_i，和顶点到垂心的三条线段的中点J _i

令HΩ和J₁I₁的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI₁=CI₁，∴ΩI₁⊥BC，又∵AH₁⊥BC，∴ΩI₁∥AH₁。

∵∠GΩI₁=∠AHG，∠GAH=∠GI₁Ω，∴△AGH∽△GΩI₁。∵AG=2GI₁，∴AH=2ΩI₁，即ΩI₁=J₁H。

∵ΩI₁∥AH₁， J₁H=ΩI₁ ∴J₁K=KI₁, HK = KΩ。

同理J₂K=KI₂， J₃K=KI₃。 可知K为九点圆圆心。

∵点K在HΩ上，HK = KΩ

∴九点圆圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。

参考资料

1. Template:Cite book

外部链接

• Altitudes and the Euler Line Template:Wayback
• Euler Line and 9-Point Circle Template:Wayback