不可克隆原理

Template:NoteTA Template:量子力学 不可克隆原理（No-cloning theorem）是量子物理的一个重要结论，即不可能构造一个能够完全复制任意量子比特，而不对原始量子位元产生干扰的系统。量子力学的线性特征是这个原理的根本原因。

不可克隆原理是量子信息学的基础。量子信息在信道中传输，不可能被第三方复制而窃取信息而不对量子信息产生干扰。因此这个原理也是量子密码学的基石。

证明

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

$|\varphi ⟩$ 和 $|\psi ⟩$ 是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态$|k⟩$上。我们用一个幺正算符$U$来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

$U(|\varphi ⟩\otimes |k⟩)=|\varphi ⟩\otimes |\varphi ⟩$

$U(|\psi ⟩\otimes |k⟩)=|\psi ⟩\otimes |\psi ⟩$

内积$⟨U(\varphi \otimes k)|U(\psi \otimes k)⟩$可得出以下两个等式：

$⟨U(\varphi \otimes k)|U(\psi \otimes k)⟩=⟨\varphi \otimes \varphi |\psi \otimes \psi ⟩$

$⟨U(\varphi \otimes k)|U(\psi \otimes k)⟩=⟨\varphi \otimes k|\psi \otimes k⟩$

这样便得到了：

$⟨\varphi \otimes \varphi |\psi \otimes \psi ⟩=⟨\varphi \otimes k|\psi \otimes k⟩,$

$\to$

$⟨\varphi |\psi ⟩⟨\varphi |\psi ⟩=⟨\varphi |\psi ⟩⟨k|k⟩.$

因为$⟨k|k⟩=1$，所以得出

$⟨\varphi |\psi {⟩}^2=⟨\varphi |\psi ⟩.$

这个等式仅有的两个解是$⟨\varphi |\psi ⟩=0$ 和 $⟨\varphi |\psi ⟩=1$。这意味着，要么 $\varphi =\psi$ （当 $⟨\varphi |\psi ⟩=1$），要么 $\varphi$ 与 $\psi$ 正交（当 $⟨\varphi |\psi ⟩=0$)。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

举例

无法从$|\psi ⟩$造出$|\psi ⟩|\psi ⟩$。

设状态$|\psi ⟩=a|0⟩+b|1⟩$。 则$|\psi ⟩|\psi ⟩=a^2|00⟩+ab|01⟩+ab|10⟩+b^2|11⟩$

把$|\psi ⟩$与$|0⟩$ 作为输入：

$|\psi ⟩|0⟩=(a|0⟩+b|1⟩)|0⟩=a|00⟩+b|10⟩$

经过受控反閘，输出:

$a|00⟩+b|11⟩$

这与$|\psi ⟩|\psi ⟩$ 并不相等，状态没有被复制。

参考文献

• W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned Template:Wayback, Nature 299 (1982), pp. 802–803.
• D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
• V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.