上昇時間

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或电流）阶跃函数下的反應，可用上昇時間（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間，值可以用相對參考輸入的比率或是百分比來表示。在模拟电路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出阶跃高度的10%及90%（或Template:Math及Template:Math）。不過，也常會使用其他的值若是在控制理論中，依照Template:Harvtxt，上昇時間定義為「響應從終值的Template:Math上昇到Template:Math所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間。依照Template:Harvtxt，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間。，

簡介

上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的Template:Link-en，其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制Template:Link-en，較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。。

影響上昇時間的因素

針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有电路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，Template:Math。

其他定義

有關上昇時間，也有其他和Template:Harvtxt不同的定義，偶爾會出現：。這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義。另一種定義是由Template:Harvtxt引入，用到概率论及统计学的概念。考慮階躍響應 Template:Math，重新定義傳播延遲 Template:Math為一次导数Template:Math的矩，也就是

$t_D=\frac{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}t{V}^{\prime }(t)\mathrm{d}t}{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{V}^{\prime }(t)\mathrm{d}t}.$

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間Template:Math

$t_r^2=\frac{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(t-t_D{)}^2{V}^{\prime }(t)\mathrm{d}t}{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{V}^{\prime }(t)\mathrm{d}t}⟺t_r=\sqrt{\frac{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(t-t_D{)}^2{V}^{\prime }(t)\mathrm{d}t}{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{V}^{\prime }(t)\mathrm{d}t}}$

典型系統的上昇時間

符號及標示

所有分析用到的符號及假設條列如下：

• 根據Template:Harvs，定義Template:Math為低準位的百分比，Template:Math為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
• Template:Math是待分析系統的輸出到達穩態值Template:Math的時間，而Template:Math是輸出到達穩態值Template:Math的時間，兩者單位都是秒。
• Template:Math是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

$t_r=t_2-t_1.$

• Template:Math為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫兹。
• Template:Math為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫兹。
• Template:Math是待分析系統在時域下的冲激响应。
• Template:Math是待分析系統在頻域下的频率响应。
• 带宽定義為

$BW=f_H-f_L$

因為較低的截止頻率Template:Math往往遠小於較高截止頻率Template:Math，因此

$BW\cong f_H$

• 所有分析的系統，其頻率響應都延伸到Template:Math（低通系統），因此

$f_L=0⟺f_H=BW$。

• 為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的电路，所有信號都假設是電壓：輸入是Template:Math伏特的阶跃函数，因此

$\frac{V(t_1)}{V_0}=\frac{x\mathrm{\%}}{100}\frac{V(t_2)}{V_0}=\frac{y\mathrm{\%}}{100}$

• Template:Math是特定二階微分方程的阻尼比，Template:Math則是自然頻率。

計算上昇時間的簡單範例

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

高斯響應系統

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

$|H(\omega )|=e^{-\frac{{\omega }^2}{{\sigma }^2}}$

其中Template:Math為常數，和高截止頻率有以下的關係：

$f_H=\frac{\sigma }{2\pi }\sqrt{\frac{3}{20}\ln 10}\cong 0.0935\sigma .$

即使這類的頻率響應無法用Template:Link-en實現。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通滤波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好。對應的冲激响应可以用频率响应的反傅里叶变换計算而得。

${ℱ}^{-1}\{H\}(t)=h(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{{\omega }^2}{{\sigma }^2}}{e}^{i\omega t}d\omega =\frac{\sigma }{2\sqrt{\pi }}{e}^{-\frac{1}{4}{\sigma }^2{t}^2}$

直接代入階躍響應的定義

$V(t)=V_{0}H*h(t)=\frac{V_0}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\frac{\sigma t}{2}}{\int }}{e}^{-{\tau }^2}d\tau =\frac{V_0}{2}[1+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)]⟺\frac{V(t)}{V_0}=\frac{1}{2}[1+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)].$

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

$\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1=\frac{1}{2}[1+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{\sigma t_1}{2}\right)]\frac{V(t_1)}{V_0}=0.9=\frac{1}{2}[1+\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{\sigma t_2}{2}\right)],$

利用误差函数的定義，可以找到Template:Math的數值，因為Template:Math,

$t_r=\frac{4}{\sigma }{\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}}^{-1}(0.8)\cong \frac{0.3394}{f_H},$

因此

$t_r\cong \frac{0.34}{BW}⟺BW\cdot t_r\cong 0.34.$

一階低通RC電路

針對一階低通RC電路，10%至90%的上昇時間和網路時間常數Template:Math成正比：

$t_r\cong 2.197\tau$

比例常數可以用輸入信號為Template:Math的阶跃函数時，系統的阶跃反應而得：

$V(t)=V_0(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$

求解時間

$\frac{V(t)}{V_0}=(1-e^{-\frac{t}{\tau }})⟺\frac{V(t)}{V_0}-1=-e^{-\frac{t}{\tau }}⟺1-\frac{V(t)}{V_0}=e^{-\frac{t}{\tau }},$

最後可得

$\ln (1-\frac{V(t)}{V_0})=-\frac{t}{\tau }⟺t=-\tau \ln (1-\frac{V(t)}{V_0})$

而Template:Math及Template:Math滿足以下條件

$\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1\frac{V(t_2)}{V_0}=0.9,$

求解方程可得Template:Math和Template:Math的解析式

$t_1=-\tau \ln (1-0.1)=-\tau \ln (0.9)=-\tau \ln \left(\frac{9}{10}\right)=\tau \ln \left(\frac{10}{9}\right)=\tau (\ln 10-\ln 9)$

$t_2=\tau \ln 10$

上昇時間和時間常數成正比：

$t_r=t_2-t_1=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197$

另外，根據

$\tau =RC=\frac{1}{2\pi f_H},$

則

$t_r=\frac{2\ln 3}{2\pi f_H}=\frac{\ln 3}{\pi f_H}\cong \frac{0.349}{f_H},$

因為上截止頻率等於頻寬

$t_r\cong \frac{0.35}{BW}⟺BW\cdot t_r\cong 0.35.$

另外，若考慮20%至80%的上昇時間，Template:Math會變成：

$t_r=\tau \cdot \ln \frac{8}{2}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau ⟺t_r=\frac{\ln 2}{\pi BW}\cong \frac{0.22}{BW}$

一階低通LR電路

等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數Template:Math成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數Template:Math的表示方式不同。因此可得到下式

$t_r=\tau \cdot \ln 9=\frac{L}{R}\cdot \ln 9\cong \frac{L}{R}\cdot 2.197$

阻尼二階系統

根據Template:Harvtxt，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間。二階欠阻尼系統的上昇時間如下：

$t_r\cdot {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}[\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }\right)]$

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函数近似如下：

$t_r\cdot {\omega }_0=2.230{\zeta }^2-0.078\zeta +1.12$

中Template:Math是阻尼比，Template:Math是電路的自然頻率。

級聯模組的上昇時間

考慮Template:Math個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為Template:Math, Template:Math，其階躍響應沒有过冲，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為Template:Math.。其輸出的上昇時間Template:Math為

$t_{r_O}=\sqrt{t_{r_S}^2+t_{r_1}^2+\dots +t_{r_n}^2}$

依照Template:Harvtxt，此結果可以用中心极限定理來說明，已由Template:Harvtxt證明。此問題的詳細分析可以參考Template:Harvtxt,，他指出Template:Harvtxt是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人。

相關條目

• 下降時間
• 频率响应
• 冲激响应
• 階躍響應
• 安定時間

參考資料

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