三维投影

三维投影是将三维空间中的点映射到二维平面上的方法。由于目前绝大多数图形数据的显示方式仍是二维的，因此三维投影的应用相当广泛，尤其是在计算机图形学，工程学和工程制图中。

分类

• 三维图形平面投影
  • 平行投影：投影中心与投影平面的距离是无限的，投影线相互平行
    • 正投影（正交投影）：投影线垂直于投影平面
      • 多视图投影：物体的坐标面与投影面平行，正视图、侧视图、俯视图
      • 轴测投影：物体的三个坐标面或坐标轴与投影面均不平行
        • 正等轴测投影（正等测）：投影时三个坐标轴等比例缩放，投影面坐标轴夹角120°
        • 正二轴测投影（正二测）：投影时两个坐标轴等比例缩放，第三个坐标轴缩放比例不同
        • 正三轴测投影（正三测）：投影时三个坐标轴缩放比例均不相等
    • 斜投影：投影线不垂直于投影平面
      • 斜等轴测投影（斜等测）
      • 斜二轴测投影（斜二测）
      • 斜三轴测投影（斜三测）
  • 透视投影：投影中心与投影平面的距离是有限的
    • 一点透视
    • 两点透视
    • 三点透视

平行投影

平行投影是投影线相互平行的投影。若投影线垂直于投影面则称正投影，若投影面倾斜于投影面则称斜投影。

正交投影

正交投影是一系列用于显示三维物体的轮廓、细节或精确测量结果的变换方法。通常又称作截面图、鸟瞰图或立面图。

当视平面的法向（即摄像机的朝向）平行于笛卡尔坐标系三根坐标轴中的一根，数学变换定义如下： 若使用一个平行于y轴（侧视图）的正交投影将三维点$a_x$, $a_y$, $a_z$投影到二维平面上得到二维点$b_x$, $b_y$，可以使用如下公式

$b_x=s_x{a}_x+c_x$

$b_y=s_z{a}_z+c_z$

其中向量s是一个任意的缩放因子，而c是一个任意的偏移量。这些常量可自由选择，通常用于将视口调整到一个合适的位置。该投影变换同样可以使用矩阵表示（为清晰起见引入临时向量d）

$\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_x\\ d_y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_x\\ c_z\end{array}\right].$

虽然正交投影产生的图像在一定程度上反映了物体的三维特性，但此类投影图像和实际观测到的并不相同。特别是对于相同长度的平行线段，无论离虚拟观察者（摄像机）远近与否，它们都会在正交投影中显示为相同长度。这会导致较近的线段看起来被缩短了。

斜投影

斜投影不像正交投影一样投影线垂直于投影面，而是投影线与投影面成非90度的斜角。

透视投影

透视投影的定义更为复杂。可以将其理解为透过摄像机取景器对于被投影物体进行观察。摄像机的位置、朝向和视野都将影响投影变换的结果。我们定义以下变量来对这一变换进行描述：

• ${𝐚}_{x,y,z}$：将被投影的三维空间中的点。
• ${𝐜}_{x,y,z}$：摄像机的位置。
• ${\mathit{\theta }}_{x,y,z}$：摄像机的旋转角度。当 ${𝐜}_{x,y,z}$=<0,0,0>且 ${\mathit{\theta }}_{x,y,z}$=<0,0,0>, 三维向量<1,2,0>将被投影到二维向量<1,2>。
• ${𝐞}_{x,y,z}$：观测者相对显示平面的位置。

最终结果为：

• ${𝐛}_{x,y}$：$𝐚$所产生的二维投影。

首先我们定义点${𝐝}_{x,y,z}$作为点$𝐚$向摄像机坐标系所作的变换，其中摄像机坐标系由摄像机的位置$𝐜$和旋转${\mathit{\theta }}_{x,y,z}$所决定。该过程为：先用$𝐚$减去$𝐜$，然后使用由$-\mathit{\theta }$产生的旋转矩阵乘上该结果。该变换通常称为摄像机变换(注意该计算过程假设使用左手法则)：

$\left[\begin{array}{c}{𝐝}_x\\ {𝐝}_y\\ {𝐝}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)& -\sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)\\ 0& \sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_x)\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)& 0& \sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)\\ 0& 1& 0\\ -\sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)& 0& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_y)\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& -\sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& 0\\ \sin ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& \cos ({\mathbf{-}\mathit{\theta }}_z)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}{𝐚}_x\\ {𝐚}_y\\ {𝐚}_z\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{𝐜}_x\\ {𝐜}_y\\ {𝐜}_z\end{array}\right]\right)$

或者使用以下这种非矩阵表示的形式，其中角度的正负号与矩阵表示形式不同：

$\begin{array}{ccc}{d}_x& =& \cos {\theta }_y\cdot (\sin {\theta }_z\cdot (a_y-c_y)+\cos {\theta }_z\cdot (a_x-c_x))-\sin {\theta }_y\cdot (a_z-c_z)\\ d_y& =& \sin {\theta }_x\cdot (\cos {\theta }_y\cdot (a_z-c_z)+\sin {\theta }_y\cdot (\sin {\theta }_z\cdot (a_y-c_y)+\cos {\theta }_z\cdot (a_x-c_x)))+\cos {\theta }_x\cdot (\cos {\theta }_z\cdot (a_y-c_y)-\sin {\theta }_z\cdot (a_x-c_x))\\ d_z& =& \cos {\theta }_x\cdot (\cos {\theta }_y\cdot (a_z-c_z)+\sin {\theta }_y\cdot (\sin {\theta }_z\cdot (a_y-c_y)+\cos {\theta }_z\cdot (a_x-c_x)))-\sin {\theta }_x\cdot (\cos {\theta }_z\cdot (a_y-c_y)-\sin {\theta }_z\cdot (a_x-c_x))\end{array}$

然后将变换后的该点通过以下方程投影到二维平面（此处投影平面为x/y平面，有时也使用x/z）:

$\begin{array}{ccc}{𝐛}_x& =& ({𝐝}_x-{𝐞}_x)({𝐞}_z/{𝐝}_z)\\ {𝐛}_y& =& ({𝐝}_y-{𝐞}_y)({𝐞}_z/{𝐝}_z)\end{array}$

或在齐次坐标系下可以表示为：

$\left[\begin{array}{c}{𝐟}_x\\ {𝐟}_y\\ {𝐟}_z\\ {𝐟}_w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -{𝐞}_x\\ 0& 1& 0& -{𝐞}_y\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1/{𝐞}_z& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{𝐝}_x\\ {𝐝}_y\\ {𝐝}_z\\ 1\end{array}\right]$

和

$\begin{array}{ccc}{𝐛}_x& =& {𝐟}_x/{𝐟}_w\\ {𝐛}_y& =& {𝐟}_y/{𝐟}_w\end{array}$

观测者到显示平面的距离，${𝐞}_z$，直接关系到视野的大小。$\alpha =2\cdot {\tan }^{-1}(1/{𝐞}_z)$为可视角度。（这里假设屏幕的两角为(-1,-1)和(1,1)）

如果要在一些特定的显示设备上显示该二维平面，之后还要进行一些必要的剪裁和缩放操作。

图示

计算三维空间中位于Ax，Az的点在屏幕坐标x轴的位置：

$screenxcoordinate(Bx)=modelxcoordinate(Ax)\times \frac{distancefromeyetoscreen(Bz)}{distancefromeyetopoint(Az)}$

对于y轴同样有:

$screenycoordinate(By)=modelycoordinate(Ay)\times \frac{distancefromeyetoscreen(Bz)}{distancefromeyetopoint(Az)}$

(其中Ax和Ay是透视转换前物体在空间中的坐标)

参看

• 计算机图形学
  • 三维计算机图形
• 透视
• 单应性
• 三维投影的数学理论：投影

延伸阅读

• Template:Citebook