万有系数定理

代数拓扑中，万有系数定理建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个拓扑空间X，其整同调群是：

$H_i(X;\mathbb{Z})$

对任何阿贝尔群A，都能完全确定其系数在A中的同调群：

$H_i(X;A)$

其中$H_i$可能是单纯同调或更一般的奇异同调。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群链复形的纯同调代数，结果的形式是，可以使用其他系数A，代价是使用Tor函子。

例如，通常取A为$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，于是系数是模2。在同调中没有2-扭化的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了X的贝蒂数$b_i$与F域中的系数的贝蒂数$b_{i,F}$之间的关系。但只有当F的特征是素数p、且同调中存在某种p-扭化时，才会有所不同。

同调情形的说明

考虑模的张量积$H_i(X;\mathbb{Z})\otimes A$。该定理指出，有一个涉及Tor函子的短正合列

$0\to H_i(X;𝐙)\otimes A\stackrel{\mu }{\to }{H}_i(X;A)\to {\mathrm{Tor}}_1(H_{i-1}(X;𝐙),A)\to 0.$

其中μ是双射$H_i(X;\mathbb{Z})\times A\to H_i(X;A)$诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会分裂，虽然不是自然分裂。

若系数环A是$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。

上同调的万有系数定理

令G为主理想域R（如$\mathbb{Z}$或某个域）上的模。

还有一个涉及Ext函子的上同调的万有系数定理，断言有自然的短正合列

$0\to {\mathrm{Ext}}_R^1(H_{i-1}(X;R),G)\to H^i(X;G)\stackrel{h}{\to }{\mathrm{Hom}}_R(H_i(X;R),G)\to 0.$

与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。

事实上，假设

$H_i(X;G)=\ker {\partial }_i\otimes G/\mathrm{im}{\partial }_{i+1}\otimes G$

并定义：

$H^{*}(X;G)=\ker (\mathrm{Hom}(\partial ,G))/\mathrm{im}(\mathrm{Hom}(\partial ,G)).$

则上面的h就是规范映射：

$h([f])([x])=f(x).$

另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调，当中h将X到$K(G,i)$的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子。

例子：实射影空间的模2上同调

令$X={\mathbb{P}}^n(ℝ)$，即实射影空间。计算X的系数在$R=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$中的奇异上同调。

已知，整数同调由下式给出：

$H_i(X;𝐙)=\{\begin{array}{cc}𝐙& i=0\text{ or }i=n\text{ odd,}\\ 𝐙/2𝐙& 0<i<n,i\text{odd,}\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

有$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(R,R)=R,\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(\mathbb{Z},R)=0$，于是上述正合列给出

$\mathrm{\forall }i=0,\dots ,n:H^i(X;R)=R.$

事实上，总上同调环结构是

$H^{*}(X;R)=R[w]/⟨w^{n+1}⟩.$

推论

定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X，$H_i(X;\mathbb{Z})$是有限生成的，因此有如下分解：

$H_i(X;𝐙)\cong {𝐙}^{{\beta }_i(X)}\oplus T_i,$

其中${\beta }_i(X)$是X的贝蒂数，$T_i$是$H_i$的扭部分。可以检验

$\mathrm{Hom}(H_i(X),𝐙)\cong \mathrm{Hom}({𝐙}^{{\beta }_i(X)},𝐙)\oplus \mathrm{Hom}(T_i,𝐙)\cong {𝐙}^{{\beta }_i(X)},$

且

$\mathrm{Ext}(H_i(X),𝐙)\cong \mathrm{Ext}({𝐙}^{{\beta }_i(X)},𝐙)\oplus \mathrm{Ext}(T_i,𝐙)\cong T_i.$

这给出了整上同调的如下声明：

$H^i(X;𝐙)\cong {𝐙}^{{\beta }_i(X)}\oplus T_{i-1}.$

对于有向闭连通n维流形X，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出${\beta }_i(X)={\beta }_{n-i}(X)$。

万有系数谱序列

对具有扭系数的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有

$E_2^{p,q}=Ex{t}_R^q(H_p(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)$

其中R是单位环，$C_{*}$是R上自由模的链复形，G是某单位环S的任意$(R,S)$-双模，$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}$是Ext群。微分${\mathrm{d}}^r$的度为$(1-r,r)$。

同调也类似

$E_{p,q}^2={\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_q^R(H_p(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)$

其中$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}$是Tor群，微分${\mathrm{d}}_r$的度为$(r-1,-r)$。

参考文献

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. Template:ISBN. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage Template:Wayback.
• Template:Cite journal
• Jerome Levine. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. -{R|https://doi.org/10.2307/1998498}-

外部链接

• Universal coefficient theorem with ring coefficients