上同调环

代数拓扑中，拓扑空间X 的上同调环是由X的上同调群与上积组成的环。此处，“上同调”指奇异上同调，不过环结构也存在于德拉姆上同调等其他理论中。它也是函子式的：对于空间中的连续映射，可在上同调环上得到反变（contravariant）的环同态。

具体来说，给定X上的上同调群$H^k(X;R)$序列，其系数在交换环R（一般是Z_n、Z、 Q、R、C）中，就可以定义上积：

$H^k(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).$

上积给出了上同调群

$H^{\bullet }(X;R)=\underset{k\in \mathbb{N}}{⨁}{H}^k(X;R).$

的直和的乘法，将$H^{\bullet }(X;R)$变成了环。实际上，它自然是一个N次环，非负整数k为次数。上积保持分次不变。

上同调环是分次交换的，即上积与由分次定义的符号交换。具体地，对度为k、ℓ的纯元素，有

$({\alpha }^k⌣{\beta }^{\ell })=(-1{)}^{k\ell }({\beta }^{\ell }⌣{\alpha }^k).$

上同调环衍生出的一个数值不变量是上积长（cup-length），即度数≥ 1、积不为零的分次元素的最大数目。例如，复射影空间的上积长等于其复维度。

例子

• ${\mathrm{H}}^{*}(ℝP^n;{𝔽}_2)={𝔽}_2[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$ where $|\alpha |=1$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℝP^{\mathrm{\infty }};{𝔽}_2)={𝔽}_2[\alpha ]$ where $|\alpha |=1$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℂP^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$ where $|\alpha |=2$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℂP^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]$ where $|\alpha |=2$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℍP^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]/({\alpha }^{n+1})$ where $|\alpha |=4$.
• ${\mathrm{H}}^{*}(ℍP^{\mathrm{\infty }};\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\alpha ]$ where $|\alpha |=4$.
• 据克奈定理，n份$ℝP^{\mathrm{\infty }}$的笛卡尔积的模2上同调环是一个系数在${𝔽}_2$中的n变量多项式环。
• 楔和的退化上同调环是它们的退化上同调环的直积。
• 除了度为0的部分，悬挂（suspension）的上同调环为0。

另见

• 量子上同调

参考文献

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