七維正八胞體

Template:NoteTA Template:Infobox polytope 在幾何學中，七維正八胞體（Template:Lang或Template:Lang）是一種自身對偶的正 Template:Link-en^[1]，是七維空間的單純形也是七維空間中最簡單的正圖形，因此又稱為7-單純形（Template:Lang）^[2]Template:Rp ，由8個六維正七胞體的Template:Link-wd組成，其二面角為cos⁻¹(1/7)約為81.79°^[1]。喬納森·鮑爾斯（Template:Lang）將七維正八胞體縮寫為oca^[3]。

性質

七維正八胞體共由8個頂點、28條邊、56個三角形的面、70個正四面體的三維胞、56個正五胞體的Template:Link-wd、28個五維正六胞體的Template:Link-wd和8個六維正七胞體的Template:Link-wd組成，其中六維正七胞體為七維正八胞體的維面。对于一个边长为a的七維正八胞体，其超胞积是 $\frac{a^{7}}{20160}$ ,表胞积是 $\frac{\sqrt{7} a^{6}}{720}$ ,高是 $\frac{2 \sqrt{7} a}{7}$ 。若一个七維正八胞体的棱长为1，则其外接七維超球的半径为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ,內切七維超球的半径为 $\frac{\sqrt{7}}{32}$ 。^[1]

邊長為2的七維正八胞體可以內接於單位Template:Link-wd中。^[4]下一個可以內接於單位超方形的最大單純形為十一維正十二胞體。^[5]

作為一種排佈

七維正八胞體的Template:Link-en為：^[1]

[\begin{matrix} \begin{matrix} 8 & 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 \\ 2 & 28 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 \\ 3 & 3 & 56 & 5 & 10 & 10 & 5 \\ 4 & 6 & 4 & 70 & 4 & 6 & 4 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 56 & 3 & 3 \\ 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 28 & 2 \\ 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 & 8 \end{matrix} \end{matrix}]

行和列對應於七維正八胞體的頂點、邊、面、胞、Template:Link-wd、Template:Link-wd和Template:Link-wd。對角線上的數字表示該元素在七維正八胞體中的數量。非對角線的數量表示對應行所代表的元素上有多少列所代表的元素交於該處。由於七維正八胞體是一種自身對偶的多胞體，因此這個排佈矩陣旋轉180度後會相同。^[6]^[7]

頂點座標

若一個七維正八胞體幾何中心位於原點，且邊長為2單位長，則其頂點座標為：

(\sqrt{1 / 28}, \sqrt{1 / 21}, \sqrt{1 / 15}, \sqrt{1 / 10}, \sqrt{1 / 6}, \sqrt{1 / 3}, \pm 1)

(\sqrt{1 / 28}, \sqrt{1 / 21}, \sqrt{1 / 15}, \sqrt{1 / 10}, \sqrt{1 / 6}, - 2 \sqrt{1 / 3}, 0)

(\sqrt{1 / 28}, \sqrt{1 / 21}, \sqrt{1 / 15}, \sqrt{1 / 10}, - \sqrt{3 / 2}, 0, 0)

(\sqrt{1 / 28}, \sqrt{1 / 21}, \sqrt{1 / 15}, - 2 \sqrt{2 / 5}, 0, 0, 0)

(\sqrt{1 / 28}, \sqrt{1 / 21}, - \sqrt{5 / 3}, 0, 0, 0, 0)

(\sqrt{1 / 28}, - \sqrt{12 / 7}, 0, 0, 0, 0, 0)

(- \sqrt{7 / 4}, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

透過將七維正八胞體可以內接於Template:Link-wd中可以獲得更簡單的座標集合，其值為：^[1]

(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}),

(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}),

(\frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}),

(\frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}),

(- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}),

(- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}),

(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}),

(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}) .

更簡單地，七維正八胞體可以坐落於八維空間座標(0,0,0,0,0,0,0,1)的排列。這個結構是基於Template:Link-wd的維面。

圖像

三維空間的七維正八胞體
三角化四面體包络中的球棍模型	以Template:Link-wd表面呈現的七維正八胞體	七維正八胞體投影到三維，再用相機投影示意其皮特里投影