Σ环

Template:DISPLAYTITLE Template:Unreferenced σ环 （Template:Lang-en），是指在可列并运算和相对补集运算下封闭的非空集合。

定义

设 $ℛ$ 是非空集合。若 $ℛ$ 满足下列性质，则称其为σ环：

1. 对可列并运算封闭： $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$，若对一切 $n\in \mathbb{N}$ 满足$A_n\in ℛ$
2. 对相对补集运算封闭： $A\setminus B\in ℛ$，若 $A,B\in ℛ$

性质

1. σ环对可列交运算封闭：$$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in ℛ$$其中$A_1,A_2,\dots$ 为 $ℛ$ 中的元素。这是由于：$$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n=A_1\setminus \bigcup _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(A_1\setminus A_n)$$

2. 一切σ环都是δ环，但并非所有δ环都是σ环。

相关概念

如果将σ环定义中的可列并运算弱化为有限并运算，即对任意$A,B\in ℛ$ 满足 $A\cup B\in ℛ$，则可推出 $ℛ$ 是环（但不是σ环）。