Β-二项式分布

Β-二项式分布，或称贝塔-二项式分布，是概率论与统计学中的有限空间取值的一类离散型概率分布函数。它与一般二项式分布的不同之处，在于它虽然也是表示一系列已知次数的伯努利实验的成功概率，但其中的伯努利实验的常数变成了一个随机变量。作为过度散布的二项式分布，Β-二项式分布在贝叶斯统计、经验贝叶斯方法以及经典统计学中都常常用到。

当试验次数 n = 1 的时候，Β-二项式分布退化为伯努利分布，而在α = β = 1 的时候，Β-二项式分布则退化为取值从0 到 n 的離散型均勻分佈。当 α 和 β 足够大的时候，它能够任意逼近二项式分布。Β-二项式分布也是多变量波利亚分布在一元时的情况，正如二项式分布和Β分布分别是多项分布和狄利克雷分布在一元时的情况一样。

矩相关性质

Β-二项式分布的前三个矩分别是：

$\begin{array}{cc}{\mu }_1& =\frac{n\alpha }{\alpha +\beta }\\ {\mu }_2& =\frac{n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}\\ {\mu }_3& =\frac{n\alpha [n^2(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}\end{array}$

而峰度则是：

${\gamma }_2=\frac{(\alpha +\beta {)}^2(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^2-\frac{3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }-\frac{18\alpha \beta n^2}{(\alpha +\beta {)}^2}].$

设 $\pi =\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$ 那么数学期望可以表示成

$\mu =\frac{n\alpha }{\alpha +\beta }=n\pi$

而方差则是：

${\sigma }^2=\frac{n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}=n\pi (1-\pi )\frac{\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}=n\pi (1-\pi )[1+(n-1)\rho ]$

其中 $\rho =\frac{1}{\alpha +\beta +1}$ 是 n 个伯努利变量的关联系数，称为散布系数。

参见

• 多变量波利亚分布

参考来源

• Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution Template:Wayback. Microsoft Technical Report.

外部链接

• 使用Β-二项式分布来对生物识别设备的性能作出估计 Template:Wayback