欧拉-麦克劳林求和公式

科林·麦克劳林是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一

莱昂哈德·欧拉是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一

欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉与科林·麦克劳林分别独立发现，该公式提供了一个联系积分与求和的方法，由此可以导出一些渐进展开式。

公式

设Template:Smallmath为一至少Template:Smallmath阶可微的函数，Template:Smallmath，则
$\begin{array}{cc}\sum _{a<n\le b}f(n)& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t\\ & +\sum _{r=0}^k\frac{(-1{)}^{r+1}{B}_{r+1}}{(r+1)!}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))\\ & +\frac{(-1{)}^k}{(k+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt\\ \end{array}$
其中

• Template:Smallmath表示Template:Smallmath的阶乘
• Template:Smallmath表示Template:Smallmath的Template:Smallmath阶导函数
• Template:Smallmath，其中
  • Template:Smallmath表示第Template:Smallmath个伯努利多项式
    • 伯努利多项式是满足以下条件的多项式序列：
    • $\{\begin{array}{c}{B}_0(x)\equiv 1\\ B{\text{'}}_r(x)\equiv r{B}_{r-1}(x)(r\ge 1)\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_r(x)\mathrm{d}x=0(r\ge 1)\end{array}$
  • Template:Smallmath表示Template:Smallmath的小数部分
• Template:Smallmath为第Template:Smallmath个伯努利数

证明

证明使用数学归纳法以及黎曼－斯蒂尔杰斯积分，下文中假设Template:Smallmath的可微次数足够大，Template:Smallmath。
为了方便，将原式的各项用不同颜色表示：
$\sum _{a<n\le b}f(n)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\sum _{r=0}^k\frac{(-1{)}^{r+1}{B}_{r+1}}{(r+1)!}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))+\frac{(-1{)}^k}{(k+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt$

k=0的情形

容易算出
${\overline{B}}_1(t)=⟨t⟩-\frac{1}{2}$
$\begin{array}{cc}\sum _{a<n\le b}f(n)& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}\lfloor t\rfloor \\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}⟨t⟩\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}(⟨t⟩-\frac{1}{2})\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}\overline{B_1}(t)\\ \end{array}$
其中橙色的项通过分部积分可化为
$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}\overline{B_1}(t)& =(f(t)\overline{B_1}(t)){|}_{t=a}^{t=b}-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overline{B_1}(t)\mathrm{d}f(t)\\ & =f(b)B_1(⟨b⟩)-f(a)B_1(⟨a⟩)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overline{B_1}(t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & =B_1\cdot (f(b)-f(a))-\underset{a}{\overset{b}{\int }}\overline{B_1}(t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ \end{array}$

假设k=n-1时原式成立

$\sum _{a<n\le b}f(n)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\sum _{r=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^{r+1}{B}_{r+1}}{(r+1)!}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_n(t)f^{(n)}(t)\mathrm{d}t$

处理积分（蓝色项）

$\begin{array}{cc}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_n(t)f^{(n)}(t)\mathrm{d}t& =\frac{(-1{)}^{n-1}}{n!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{{\overline{B^{\prime }}}_{n+1}(t)}{n+1}{f}^{(n)}(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B^{\prime }}}_{n+1}(t)f^{(n)}(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{(n)}(t)\mathrm{d}{\overline{B}}_{n+1}(t)\\ & =\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+1)!}((f^{(n)}(t)\overline{B_{n+1}}(t)){|}_{t=a}^{t=b}-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{n+1}(t)\mathrm{d}{f}^{(n)}(t))\\ & =\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+1)!}(f^{(n)}(b)B_{n+1}(⟨b⟩)-f^{(n)}(a)B_{n+1}(⟨a⟩)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t)\\ & =\frac{(-1{)}^{n-1}{B}_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))-\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t)\\ & =\frac{(-1{)}^{n+1}{B}_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))+\frac{(-1{)}^n}{(n+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t)\\ \end{array}$

将处理后的积分代入

$\begin{array}{cc}\sum _{a<n\le b}f(n)& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\sum _{r=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^{r+1}{B}_{r+1}}{(r+1)!}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))+\frac{(-1{)}^{n-1}}{n!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_n(t)f^{(n)}(t)\mathrm{d}t\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\sum _{r=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^{r+1}{B}_{r+1}}{(r+1)!}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))+\frac{(-1{)}^{n+1}{B}_{n+1}}{(n+1)!}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))+\frac{(-1{)}^n}{(n+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t)\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\sum _{r=0}^n\frac{(-1{)}^{r+1}{B}_{r+1}}{(r+1)!}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))+\frac{(-1{)}^{(n)}}{(n+1)!}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\overline{B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\\ \end{array}$
得到想要的结果。

余项（积分项）估计

欧拉-麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着Template:Smallmath的增加而增加，相反地，如果Template:Smallmath相当大，则积分项也会很大。右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的Template:Smallmath对应的积分项的绝对值：

计算调和级数时的误差项

应用

通过欧拉-麦克劳林求和公式可以给出黎曼ζ函数的渐进式：
$\begin{array}{cc}\zeta (s)& =\sum _{n=1}^{N-1}{n}^{-s}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2}{N}^{-s}\\ & +\frac{B_2}{2}s{N}^{-s-1}+...+\frac{B_{2\nu }}{(2\nu )!}s(s+1)...(s+2\nu -2)N^{(-s-2\nu +1)}+R_{2\nu }\end{array}$
其中
$R_{2\nu }=-\frac{s(s+1)...(s+2\nu -1)}{(2\nu )!}\underset{N}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\overline{B}}_{2\nu }(x)x^{-s-2\nu }\mathrm{d}x$

其他形式

欧拉-麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式：
$\sum _{y<n\le x}f(n)=\underset{y}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t+\underset{y}{\overset{x}{\int }}(t-\lfloor t\rfloor )f^{\prime }(t)\mathrm{d}t+f(x)(\lfloor x\rfloor -x)-f(y)(\lfloor y\rfloor -y)$
这是欧拉给出的原始形式。