小q拉盖尔多项式

4th order Little q-Laguerre polynomials

小q拉盖尔多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式

$p_n(x;a|q)={}_2{\varphi }_1(q^{-n},0;aq;q,qx)=\frac{1}{(a^{-1}{q}^{-n};q{)}_n}{}_2{\varphi }_0(q^{-n},x^{-1};;q,x/a)$

极限关系

大q拉盖尔多项式→小q拉盖尔多项式

在大q拉盖尔多项式中，令$x\to bqx$,并令$b\to \mathrm{\infty }$即得小q拉盖尔多项式

$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n(bqx;a,b;q)=p_n(x;a|q)$

仿射Q克拉夫楚克多项式→ 小q拉盖尔多项式：

$\underset{a\to 1}{\lim }=K_n^{aff}(q^{x-N};p,N|q)=p_n(q^x;p,q)$ 令小q拉盖尔多项式 $a=q^a$ $x=(1-q)*x$,然后令q→1 即得拉盖尔多项式

$\underset{q\to 1}{\lim }{P}_a(1-q)x;q^a|q)=\frac{L_n^{(a)}(x)}{L_n^{(a)}(0)}$

验证 9阶小q拉盖尔多项式→拉盖尔多项式

作上述代换，

$P_a(1-q)x;q^a|q)=1+\frac{qx}{1-q^{\alpha }q}-\frac{x}{q^8(1-q^{\alpha }q)}$ $+(1-q^{-9})(1-q^{-8})q^2(1-q)x^2{(1-q^2)}^{-1}{(1-q^{\alpha }q)}^{-1}{(1-q^{\alpha }{q}^2)}^{-1}$$+(1-q^{-9})(1-q^{-8})(1-q^{-7})q^3{(1-q)}^2{x}^3{(1-q^2)}^{-1}$${(1-q^3)}^{-1}{(1-q^{\alpha }q)}^{-1}{(1-q^{\alpha }{q}^2)}^{-1}{(1-q^{\alpha }{q}^3)}^{-1}+\cdots$

求q→1极限得

令a=3,得 $(1-\frac{9}{4}x+\frac{9}{5}{x}^2-\frac{7}{10}{x}^3+\frac{3}{20}{x}^4-\frac{3}{160}{x}^5+\frac{1}{720}{x}^6-\frac{1}{16800}{x}^7+\frac{1}{739200}{x}^8-\frac{1}{79833600}{x}^9)$

另一方面

$\frac{L_n^{(3)}(x)}{L_n^{(3)}(0)}$ =$(1-\frac{9}{4}x+\frac{9}{5}{x}^2-\frac{7}{10}{x}^3+\frac{3}{20}{x}^4-\frac{3}{160}{x}^5+\frac{1}{720}{x}^6-\frac{1}{16800}{x}^7+\frac{1}{739200}{x}^8-\frac{1}{79833600}{x}^9)$

二者显然相等 QED

图集

LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS ABS COMPLEX 3D MAPLE PLOT

LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS IM COMPLEX 3D MAPLE PLOT

LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS RE COMPLEX 3D MAPLE PLOT

LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS ABS DENSITY MAPLE PLOT

LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS IM DENSITY MAPLE PLOT

LITTLE Q-LAGUERRE POLYNOMIALS RE DENSITY MAPLE PLOT

参考文献

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