尚努埃爾引理

在數學的同調代數中，尚努埃爾（Schanuel）引理是一條簡易的基本結果，可用來比較一個模離投射性有多遠。

敘述

設R是環，

0 → K → P → M → 0

0 → K' → P ' → M → 0

是兩條左R-模的短正合序列，P和P '是投射模，則K ⊕ P '同構於K ' ⊕ P。

證明

定義P ⊕ P '的子模如下，其中φ : P → M，φ' : P ' → M：

$X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\varphi (p)={\varphi }^{\prime }(q)\}.$

定義映射 π : X → P為自X投射第一個座標至P。φ' 是滿射，所以對任何p ∈ X，都有q ∈ P ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X，得 π (p,q) = p。因此π 是滿射。

考慮π 的核：

$\begin{array}{cc}\text{ker}\pi & =\{(0,q):(0,q)\in X\}\\ & =\{(0,q):{\varphi }^{\prime }(q)=0\}\\ & \cong \text{ker}{\varphi }^{\prime }\cong K^{\prime }.\end{array}$

由此可知有短正合序列

$0\to K^{\prime }\to X\to P\to 0.$

因為P是投射的，所以序列分裂，故有X ≅ K ' ⊕ P。

同理可得

$0\to K\to X\to P^{\prime }\to 0,$

因此X ≅ P ' ⊕ K。結合X的兩等價式，結果得證。

長正合序列

以上證明也可推廣至長正合序列。

應用

設 $\dots \to P_1\to P_0\stackrel{f_0}{\to }M\to 0$ 是M的一個投射分解，使得$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_0)$是投射的，則M的每個投射分解都是如此。

證明

設$\dots \to Q_1\to Q_0\stackrel{g_0}{\to }M\to 0$是另一個投射分解。考慮短正合序列

$0\to \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_0)\to P_0\to M\to 0$

$0\to \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(g_0)\to Q_0\to M\to 0$

從尚努埃爾引理可知$P_0\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(g_0)\cong Q_0\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_0)$，而從假設知$Q_0\oplus \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f_0)$是投射的，故$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(g_0)$是投射模的直和項，因此也是投射的。

起源

斯蒂芬·尚努埃爾在歐文·卡普蘭斯基1958年秋季學期芝加哥大學的同調代數課上發現這個證法。卡普蘭斯基在書上說：他在課上給出了一個模的投射分解的一步，並指出若在一個分解中這個核是投射的，則在所有分解中都是投射的，又說雖然命題簡單，但須過些時候才能證。尚努埃爾回應說這容易證，於是描述了大概，就是後來以其命名的引理。他們討論了幾天後，得到了完整的證明。