布尔不等式

Template:NoteTA Template:Probability fundamentals 布尔不等式（Template:Lang-en），由乔治·布尔提出，指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。

对于事件A₁、A₂、A₃、......：

$P(\bigcup _i{A}_i)\le \sum _{i}P(A_i)$

在测度论上，布尔不等式满足σ次可加性。

证明

布尔不等式可以用数学归纳法证明。

对于1个事件：

$P(A_1)\le P(A_1)$

对于n个事件：

$P(\bigcup _{i{=}_1}^n{A}_i)\le \sum _{i{=}_1}^{n}P(A_i)$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(\bigcup _{i{=}_1}^{n+1}{A}_i)=P(\bigcup _{i{=}_1}^n{A}_i)+P(A_{n+1})-P(\bigcup _{i{=}_1}^n{A}_i\cap A_{n+1})$

$P(\bigcup _{i{=}_1}^n{A}_i\cap A_{n+1})\ge 0,$

$P(\bigcup _{i{=}_1}^{n+1}{A}_i)\le P(\bigcup _{i{=}_1}^n{A}_i)+P(A_{n+1})$

$P(\bigcup _{i{=}_1}^{n+1}{A}_i)\le \sum _{i{=}_1}^{n}P(A_i)+P(A_{n+1})=\sum _{i{=}_1}^{n+1}P(A_i)$.

使用马尔可夫不等式的证明

令$A_1,A_2,\cdots ,A_n$是任意概率事件。$X$是各种事件$A_i$的发生次数的随机变量。显然有：

$E(X)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$

因为$X$是非负随机变量，应用馬爾可夫不等式，取$a=1$，有：

$P(X⩾1)⩽E(X)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$

注意到$P(X⩾1)=P(\bigcup _{i{=}_1}^n{A}_i)$

邦费罗尼不等式

布尔不等式可以推导出事件并集的上界和下界，其关系称为邦费罗尼不等式 。

定义：

$S_1=\sum _{i=1}^{n}P(A_i),$

$S_2=\sum _{1\le i<j\le n}P(A_i\cap A_j),$

$S_k=\sum _{1\le i_1<\cdots <i_k\le n}P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k})$

对于奇数k：

$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)\le \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j-1}{S}_j$

对于偶数k：

$P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)\ge \sum _{j=1}^k(-1{)}^{j-1}{S}_j$

参见

• 容斥原理

参考资料

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