态叠加原理

在雙縫實驗裏，從光源$\mathrm{a}$傳播出來的相干光子束，照射在一塊刻有兩條狹縫$\mathrm{b}$和$\mathrm{c}$的不透明擋板$\mathrm{S}\mathrm{2}$。在擋板的後面，擺設了攝影膠捲或某種偵測屏$\mathrm{F}$，用來紀錄到達$\mathrm{F}$的任何位置$\mathrm{d}$的光子數據。最右邊黑白相間的條紋，顯示出光子在偵測屏$\mathrm{F}$的干涉圖樣。

Template:量子力学 在量子力学裏，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。Template:Rp

從數學表述，态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。

更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量$A$，而可觀察量$A$的本徵態$|a_1⟩$、$|a_2⟩$分別擁有本徵值$a_1$、$a_2$，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態$|\psi ⟩=c_1|a_1⟩+c_2|a_2⟩$也可以是這量子系統的量子態；其中，$c_1$、$c_2$分別為疊加態處於本徵態$|a_1⟩$、$|a_2⟩$的機率幅。假設对這疊加態系統测量可观察量$A$，則測量獲得數值是$a_1$或$a_2$的機率分別為$|c_1{|}^2$、$|c_2{|}^2$，期望值為$⟨\psi |A|\psi ⟩=|c_1{|}^2{a}_1+|c_2{|}^2{a}_2$。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態$|0⟩$與$|1⟩$的線性疊加。這兩個基底態$|0⟩$、$|1⟩$的本徵值分別為$0$、$1$。

理論

在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 $|f_1⟩$或$|f_2⟩$ ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合$|f⟩=c_1|f_1⟩+c_2|f_2⟩$，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中，$c_1$、$c_2$是複值係數，為了歸一化$|f⟩$，必須讓$|c_1{|}^2+|c_2{|}^2=1$。

假設$\theta$為實數，則雖然$e^{i\theta }|f_2⟩$與$|f_2⟩$標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如，$|f_1⟩+|f_2⟩$、$|f_1⟩+e^{i\theta }|f_2⟩$分別標記兩種不同的量子態。但是，$|f_1⟩+|f_2⟩$和$e^{i\theta }(|f_1⟩+|f_2⟩)$都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。Template:Rp

電子自旋範例

設想自旋為$1/2$的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態$|\uparrow ⟩$與下旋態$|\downarrow ⟩$，它們的量子疊加可以用來表示量子位元：

$|\psi ⟩=c_{\uparrow }|\uparrow ⟩+c_{\downarrow }|\downarrow ⟩$；

其中，$c_{\uparrow }$、$c_{\downarrow }$分別是複值係數，為了歸一化$|\psi ⟩$，必須讓$|c_{\uparrow }{|}^2+|c_{\downarrow }{|}^2=1$。

這是最一般的量子態。係數$c_{\uparrow }$、$c_{\downarrow }$分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率：

$p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }{|}^2$、

$p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }{|}^2$。

總機率應該等於1： $p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }{|}^2+|c_{\downarrow }{|}^2=1$。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態：

$|\psi ⟩=\frac{3i}{5}|\uparrow ⟩+\frac{4}{5}|\downarrow ⟩$。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

$p_{\uparrow }={\left|\frac{3i}{5}\right|}^2=\frac{9}{25}$、

$p_{\downarrow }={\left|\frac{4}{5}\right|}^2=\frac{16}{25}$。

再次注意到總機率應該等於1：

$p=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$。

非相對論性自由粒子案例

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為Template:Rp

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$；

其中，$\hslash$是約化普朗克常數，$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$是粒子的波函數，$𝐫$是粒子的位置，$t$是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$；

其中，$𝐤$是波向量，$\omega$是角頻率。

代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式

$\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\hslash \omega$。

由於粒子存在的機率等於1，波函數$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加：

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}\underset{𝕂}{\int }A(𝐤)e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}\mathrm{d}𝐤$；

其中，積分區域$𝕂$是$𝐤$-空間。

為了方便計算，只思考一維空間，

$\mathrm{\Psi }(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(k)e^{i(kx-\omega (k)t)}\mathrm{d}k$；

其中，振幅$A(k)$是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

$A(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Psi }(x,0)e^{-ikx}\mathrm{d}x$；

其中，$\mathrm{\Psi }(x,0)$是在時間$t=0$的波函數。

所以，知道在時間$t=0$的波函數$\mathrm{\Psi }(x,0)$，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數$\mathrm{\Psi }(x,t)$。

參見

• 叠加原理
• 波函数
• Delta 位勢阱
• Delta 位勢壘

參考文獻

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• Dirac, P. A. M. (1930/1958). The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press.
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• Messiah, A. (1961). Quantum Mechanics, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French Mécanique Quantique, North-Holland, Amsterdam.
• Template:Cite book

sk:Princíp superpozície#Princíp superpozície v kvantovej mechanike