周期点

Template:NoteTA 在数学中，特别是在迭代函数和动态系统领域，周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。

迭代函数

f : X \to X

若存在 $n$ ，使得

f^{n} (x) = x

则 $x$ 是周期为 $n$ 的周期点。这里， $f^{n}$ 是 $f$ 的 $n$ 次迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期。

设 $p$ 是函数 $f (x)$ 的以 $n$ 为周期的周期点，若

| (f^{n})^{'} | \neq 1

则 $p$ 是双曲周期点。若

| (f^{n})^{'} | < 1

则称周期点p为吸引子；若

| (f^{n})^{'} | > 1

则称周期点p为排斥子。

若该周期点的稳定流形的维数为0，则称其为源点；若不稳定流形的维数为0，则称其为汇点；若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0，则称其为鞍点。

给定一个连续时间动态系统 $(ℝ, X, Φ)$ ，其中 $X$ 是相空间， $Φ$ 是状态转移函数，

Φ : ℝ \times X \to X

若存在 $t > = 0$ ， $x \in X$ ，使得

Φ (t, x) = x

则 $x$ 被称为以 $t$ 为周期的周期点，使上式成立的最小正数 $t$ 被称为最小周期。

设 $x$ 是以 $t$ 为周期的周期点，则对于任意实数 $s$ ， $Φ (s, x) = Φ (s + t, x)$ 都成立。设轨迹 $γ_{x}$ 经过周期点 $x$ ，则该轨迹上的所有点均为周期点，且最小周期与 $x$ 的最小周期相等。