餘割

Template:Refimprove Template:Expand Template:函數 餘割（Cosecant，$\csc$）是三角函数的一种。它的定义域不是$k\pi$（或Template:Math，其中$k$為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$（360°）。

餘割是三角函数的餘函數（餘弦、餘切、餘割、餘矢）之一，所以在$2k\pi$（Template:Math）到$2k\pi +\frac{\pi }{2}$（Template:Math）的區間之間，函數是遞减的，另外餘割函数和正弦函数互為倒數。

在單位圓上，餘割函数位於割線上，因此將此函數命名為餘割函数。

和其他三角函數一樣，餘割函数一樣可以擴展到複數。

符号史

余割的符号为$\csc$，取自英文Template:Lang，其又源於拉丁文的Template:Lang及Template:Lang。

定义

直角三角形中

直角三角形，$\mathrm{\angle }C$為直角，$\mathrm{\angle }A$的角度為 $\theta$， 對於$\mathrm{\angle }A$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个銳角$\mathrm{\angle }A$的餘割定義為它的斜邊與對邊的比值，也就是：

$\csc \theta =\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

其定義與正弦函數互為倒數。

直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left(x,y\right)$是角的终边上一点，$r=\sqrt{x^2+y^2}>0$是P到原点O的距离，则$\alpha$的余割定义为：

$\csc \alpha =\frac{r}{y}$

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于$\sin \theta$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了$\csc \theta =\frac{1}{y}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。 Template:Clear 对于大于$2\pi$（360°）或小于$-2\pi$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，餘割变成了周期为$2\pi$（360°）的周期函数：

$\csc \theta =\csc (\theta +2\pi k)=\csc (\theta +360^{\circ }k)$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

與其他函數定義

餘割函數和正弦函數互為倒數

即：

$\csc x=\frac{1}{\sin x}$

級數定義

餘割也能使用泰勒級數來定義：

$\csc x=\frac{1}{x}+\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}+\frac{31x^5}{15120}+\frac{127x^7}{604800}+\frac{73x^9}{3421440}+...=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}.$

其中$B_{2n}$為伯努利數。

另外，我们也有

$\csc x=\frac{1}{x}+2x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{-n^2{\pi }^2+x^2}.$

微分方程定义

${\csc }^{\prime }x=-\csc x\cot x$

$\csc x=(\ln |\csc x-\cot x|)$

指数定义

$\csc \theta =\frac{2\mathrm{i}}{e^{\mathrm{i}\theta }-e^{-\mathrm{i}\theta }}$

恆等式

和差角公式

$\csc (\theta \pm \psi )=\frac{\csc \theta \csc \psi }{\cot \psi \pm \cot \theta }$

參見

• 正弦
• 餘弦
• 正切
• 餘切
• 正割
• 三角学
• 三角函数
• 函數
• 正弦波