格羅莫夫積

格羅莫夫(Gromov)積是度量幾何的一個概念，以米哈伊爾·格羅莫夫命名。在一個測地度量空間中，從同一點出來的兩條測地線，格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過，格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。

格羅莫夫積可用以定義格羅莫夫雙曲空間及其理想邊界。

定義

設$(X,d)$為度量空間，$x,y,z$為$X$中三點，則$y,z$以$x$為基點的格羅莫夫積定義為

$(y,z{)}_x:=\frac{1}{2}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z))$

性質

• 對稱性：$(y,z{)}_x=(z,y{)}_x$
• 若基點和另一點相同，格羅莫夫積為零：$(y,z{)}_y=0$，$(y,z{)}_z=0$
• 以下關係式成立：

$d(x,y)=(x,z{)}_y+(y,z{)}_x$

$0\le (y,z{)}_x\le \min \{d(y,x),d(z,x)\}$

• 格羅莫夫積是利普希茨連續的：

$|(y,z{)}_p-(y,z{)}_q|\le d(p,q)$

$|(x,y{)}_p-(x,z{)}_p|\le d(y,z)$

• 在歐幾里德幾何中，若$\mathrm{△}ABC$為平面上任意一個三角形，$(B,C{)}_A$等於$A$點到內切圓與AB及AC的兩個切點的距離。

• 設$X$為樹，則對$X$中任意三點$x,y,z$，$(y,z{)}_x$是從$x$到$y,z$的兩條線段重合部份的長度。
• 設$X$為測地度量空間。記$[y,z]$為連接點$y,z$的一條測地線段。（注意連接此兩點的測地線段未必唯一。）對$X$中任意三點$x,y,z$有不等式：

$d(x,[y,z])\ge (y,z{)}_x$

• 格羅莫夫雙曲空間其中一個定義為：

設$\delta \ge 0$為常數。度量空間$(X,d)$稱為δ-雙曲，若$X$中任意點$p,x,y,z$都符合不等式

$(x,z{)}_p\ge \min \{(x,y{)}_p,(y,z{)}_p\}-\delta$